Galois
(4)A．L． Crelle(1780-1855年)
他虽然不是一个顶尖的数学家，他和他创办的杂志却为当时德国数学的发展做出最大的贡献。
(5)Jacobi 与P. G. L. Dirichlet(1805-1859年)
很可惜，描写Jacobi 的份量不够，甚至不如为Cauchy 的详细。高木贞治也察觉到这个缺憾。
(6)三个几何学家，使用解析方法的A. F. Mobius(1790-1868年)与J. Plucker(1801-1868年)，使用综合方法的J. Steiner(1796-1863年)。
《史谈》的作者显然不满足于仅仅列一张人名与定理的清单给读者，他还想在最低限度下介绍数学的内容。因此，读者在这里可以学到一点椭圆函数的基本概念，可以了解数论怎样在Cauchy 的手中逐步发展出来。念过微积分的人可能会对于讨论级数的收敛发散感到厌烦，请看看《史谈》第110-115,151-153页，历史会告诉你，这些啰啰嗦嗦的讨论在十九世纪初期是如何重要。
看过《史谈》的读者可能会惊讶的问：“这就是近世数学最重要的一页吗？椭圆函数是什么？为什么我一点儿也不知道？”我的答覆是，一点儿也不错，这正是近世数学最重要的一个环节，直到现在还是如此。我可以举德国大数学家F. Klein(1849-1925年)的一段话做为佐证。Klein说：“在我的学生时代，由于Jacobi学派的影响，Abel函数的理论毫无疑问的被认为是当代数学的颠峰，每一个学生都想在这个领域奋勇前进。”
如果把高木贞治的《史谈》比做一篇史诗，歌颂十九世纪的英雄和他们的事迹，那么Struik 的《数学简史》就是一本清澈澄明的哲学巨著，它像一把明亮锋利的刀子，冷静而且不带感情的剖析每一个时代的数学。
《数学简史》的时间从浑沌初开的人类讲到十九世纪结束为止。它除了讨论西方(欧洲与希腊)的数学发展，Struik 还想兼顾到阿拉伯、印度、中国的数学。可以说，这是一本简明而且完整的数学史。
《数学简史》
翻一翻这本书的目录:数学的开端，古东方，希腊，希腊社会衰落后的东方，西欧数学的开端，十七世纪，十八世纪，十九世纪。就可略知著者的野心。
可是那一本数学史的书不是这样写的？Struik 这本书究竟有什么特点呢？我暂且举几件事说明一下：
一、Struik把握住每一个时代最重要的数学概念，并且强调这些概念是怎样从上一个时代演化而来，怎样影响下一个时代的数学发展。这个特点在讨论希腊数学与十七世纪数学时尤其突出。
《数学简史》对于重要的数学家的全部贡献都有扼要而且权威性的叙述。这是《史谈》无法比拟的。在高木贞治笔下的Gauss，我们几乎只看到数论;Struik却告诉我们，除了数论和代数基本定理之外，Gauss也研究过天文学、电磁学、特殊函数、微分几何。Struik大概认为他有责任替每一个数学家做一个盖棺定论，因此他观察的角度非常全面，他的结论也很慎重。
正因为Struik是以做史笔的心情来写作的，《数学简史》不会像某些美国式的数学史书籍给人一种轻佻或滥情的感觉，Struik的文笔是严谨而且庄重。
二、Struik把数学的发展看做人类文明史的一都分，因此他非常注意社会的组织和社会的活动如何促进或如何阻碍数学的发展。
在希腊时期与文艺复兴时代，他非常详尽的讨论贸易、天文、航海业、测量术、保险业如何促进数学的发展。他没有忘记印刷术的发明对人类的贡献。
Struik认为，集约式农业仰赖精密的天文知识，因此促进数学的发展;粗放式农业(如罗马帝国)则否。他还认为，农业为主的社会只能发展出算术或代数的知识，几何的理论就要依赖贸易城邦的社会来完成。他举个例子，十五、十六世纪由于商业迅速的发达，意大利各城市流行一种“计算热”(见《数学简史》第110页)，这正好是三次与四次方程解法发现的时代。
但是Struik并不迂腐，他不是偏执狂，他非常尊重事实。他完全意识到社会环境对数学发展具有某些支配力，可是他指出:“十九世纪数学的丰收并不是新的工业所引发的技术问题而造成的;科学与实用的关连并未完全断绝，不过常常变得模糊。”(见《数学简史》第193页)
因此Struik留下一个问题：“是什么原因促使十九世纪或二十世纪的数学蓬勃发展？”他不愿提出他自己的看法，他只提供一些背景说明。
三、Struik不只注意到数学知识的发展，他还注意到传播知识的形式如何改变。
以传播知识的场所而言，十七世纪的大学，如Bologna大学，是传播新知识的大本营;然后大学的进步角色被学术团体取代，英国的皇家学会、法国科学院应运而生; 在法国大革命时代，工艺学校及其仿效者(如高等师范学校、柏林大学)又变成时代的前锋。
以传播知识的书籍而言，十九世纪以前大部分是专家的论著，十九世纪时工艺学校式的讲义却风行一时。有趣的是，二十世纪轮到N. Bourbaki式硬绑绑的“定义-定理-引理”的书籍流行起来。
以传播知识的语言而言，十九世纪以前大部分使用拉丁文，十九世纪以后则使用各国的语言。这正好反映民族国家的兴起。
四、Struik在《数学简史》第367-269页谈到D. Hilbert(1862-1943年)在国际数学会提出的二十三个问题，揭开二十世纪数学的序幕。
其实，Struik如果能够在最后一节讨论S. Lie(1842-1899年)、H. Poincaré (1854-1912年)与D. Hilbert 对二十世纪数学的影响，可能是篇很好的谢幕辞，并且读者对二十世纪数学也会有一个初步但是比较完整的认识。
我不禁想要把这两本书和另外两本书作个比较。这两本书是
F. Klein:《数学在19世纪的发展》。
M. Kline :《古今数学思想》。
同样的，两位作者都是学有专精的数学家。尤其是F. Klein，他是十九世纪末期德国最重要的数学家之一 。
很明显的，《史谈》受了F. Klein很深的影响，而《数学简史》则予M. Kline不少影响。
F. Klein 与M. Kline 的书显然都非常详细——比较这四本书的页数就可知道。可是我仍然较愿推荐《史谈》与《数学简史》给一般读者。
要完全欣赏《史谈》可能需要具备复变函数论的知识。可是一般读者(高中程度以上)如果在某些地方不求甚解的话，他仍然可以从《史谈》得到许多益处，许多启发。高木贞治的笔触是非常轻快的，他讲的故事又那么有趣，我相信，即使是不喜欢数学的人都会欣赏高木贞治这本书。
但要看得懂F. Klein 的书，保守的估计，至少要受完大学四年数学系的训练。此外，还要有耐心，否则会半途而废。F. Klein 的书几乎是把十九世纪主要的数学流派的来龙去脉交代得清清楚楚。有不少地方，例如代数曲线的分类，读者可能无法卒读。不过我非常鼓励数学系的学生好好的看F. Klein 这本书。凭良心说，大学四年的训练实在相当有限，F. Klein 这本书可以使你大开眼界。
《数学简史》是一本完整的历史。高中程度以上的任何人都可以看，至少会增广你的见闻。话虽这么讲，读者如果没有相当的数学训练，许多数学名词(如三体问题, 理想分解, 四次剩余) 对他有什么意义？他对这些数学家如何能产生亲切感？我的经验是，只要具备微积分的基础应该可以不太费力的看到倒数第二章《十八世纪》，并且会有不少收获。至于最后一章《十九世纪》，如果能找人解释一些基本的概念，相信对于读者会有很大的帮助。我推荐这本书给一般读者（高中程度以上），它提供你一个完整的数学史的轮廓，它不强调天才或某些数学家怪诞的行为，它告诉你：数学是人类社会活动的产物。
M. Kline 的书简直是一本百科全书。正因为它太详尽了，一般读者可能会抓不到重点。如果读者对数学史已经有一个通盘的了解，这倒是一本非常方便的参考书。例如，假使你想知道射影几何发展的经过，这里就有一章专门讨论射影几何。数学老师如果想查一些比较详尽的数学史的资料，M. Kline 的书可能是非常适合的。
写数学史的作者通常会碰到一个两难的境地：怎样写数学呢？你是把理想分解当做一个不加解释的名词，摆在那里让读者自已去揣摩呢，还是从Fermat 问题开始，讨论因子分解的唯一性，再介绍E. E. Kummer(1810-1893年)如何提出理想分解的概念呢？Struik 采取第一个做法，不做太深入的解释。高木贞治、F. Klein、M. Kline 差不多是采取第二个做法。采取第二个做法时，如果讲解得不够透彻，不懂的读者还是不懂——可能会更沮丧。这也是这三本书不太容易看的一个原因。在这一点，《史谈》处理得最成功，一方面可能是高木贞治在这方面下过功夫，另一面是《史谈》的篇幅最短，在读者的兴趣还没有完全被耗尽之前，他已经看完这本书了。
二
这两本书有不少有趣的地方，虽然无关宏旨，我聊且列出数则，以供参考。
一、我有时候想，如果I. Newton(牛顿，1642-1727年)和现在的大一学生一起念微积分，他的成绩不见得就会如何出色，因为他虽然会微积分，可是现在的微积分课程在讲微分之前，先讲了许多基础知识（如连续性、极限、实数系、集合的符号），这些预备知识通常是很无趣的，Newton能不能忍受这种“热身运动”，我不敢说。
同样的情形，高中学生在学不等式、指数函数、对称式，这些真刀实枪的材料之前，要先玩够了逻辑语句、De Morgan 法则、加法交换律、结合律这些观念，也令人非常迷惑。
《数学简史》第12页引了一段A. Speiser 的话，实在发人深省：
基础数学很明显的越来越枯燥乏味，这种倾向可以说明为何它直到晚近才为人加以研究，因为有创意的数学家比较喜欢研究有趣而又美妙的问题。
二、某些业余的数学家最喜欢研究一些可以一鸣惊人的问题，例如， 最近还有人声称解出三等分角的问题。我并不是说古希腊几何三大问题没有意义，不值得研究；事实上这些问题引出超越数理论，从十九世纪中期到现在，这种理论的研究一直是数论研究上非常活跃、非常重要的一支。可是这些研究三等分角问题的先生却不是采取这种高等的观点。从几何三大问题，他们并没有走到另一个重要的数学领域；在方法上，他们只沿袭欧氏几何的方法，并无创新之处——如果这种方法可以奏效，几何三大问题早就被Monge或Steiner吃掉了，何况这些问题已经证明是无解的。
Abel也干过这种事。19岁时他相信他解出五次方程式，论文寄到丹麦科学院，却收到如下的答覆(《史谈》第102页)：
Abel年纪还轻，即便没能达到目的，我们还是承认他是少见的明敏。我们十分担心他把全副精神投资在这种白费心力的问题。他应该集中心力研究椭圆函数。如此也许可以在数学的大海中摸索到麦哲伦海峡。
三、1826年Abel到巴黎留学，Laplace，Legendre，Cauchy，Poisson，Fourier虽然还健在，巴黎的数学地位已慢慢衰颓，可是这些一代宗师都还志得意满得不得了，忙着互相标榜。Abel却是明眼人，他的巴黎来鸿(《史谈》第118-119页)如果被Lagrange或Monge在九泉看到，工艺学校的这两个守护神恐怕要捶胸顿足，痛哭流涕吧。
读者不妨参考C. Reid写的传记，《希尔伯特》。Hilbert在六十多年后到巴黎游学，当时的德国是一片奋发兴旺的气象，法国除了Poincaré和Picard之外，隐隐约约之中却有老大（编者注：作者是台湾人，老大也许是英雄迟暮的意思）的气氛。风水轮流转吧?
