大正方形的面积为1,所以最后的结果是1/3!
02 无穷相加的必要条件几何级数因为是无限相加,所以也叫无穷级数,如果“级数”这个词看着别扭,就理解为是无穷个数相加好了。既然是加法当然我们要求结果啦,求不出结果的式子其存在毫无意义,所以会有求不出结果的式子吗?
还真的有!
S=1-1 1-1 1-1 ……
S的值为多少?
法1:S=(1-1) (1-1) (1-1) ……=0
法2:S=1 (-1 1) (-1 1) ……=1
法3:S=1-(1-1 1-1 1-1 ……)=S,∴S=0.5
哇塞,竟然想出了三种方法!
哇塞,三种方法的结果居然还不一样!
那哪个是正确答案?感觉这三个看起来都有道理,作为一门严谨的学科,最怕感觉这么回事,因为感觉是不讲道理的,偏偏数学要以理服人。
其实这三种做法都用到了“加法结合律”!什么是加法结合律,这应该是小学内容了吧:a b c=a (b c)
在计算加法的时候可以先把后面的部分先加起来,但要注意的是,我们所说的计算都是有限个数的计算,而我们上面的题目可是求一个无穷级数的结果,所以问题就出在这里!
我们不能拿有限数的计算方法用在无限当中,这便是我们没有感觉出有差别的地方。讲真,察觉不出这一点很正常,但不要习以为常,对于计算的每一步,请考虑是否完全等价!
所以以上都不是正确答案,这个算式没有答案。在无穷的世界里会有很多我们想象不到的结果,比如整体可以等于部分,比如说无穷也分可数与不可数等等,所以出现这样没有结果的结果也不用太意外了。
那什么样的无穷相加才会有结果呢?我们想要的结果当然是一个数咯,稍微分析一下我们就会发现,这串数列后面的数必须得越来越小,在无穷处趋近于零,即我们所谓的极限为0,这样才能有个结果。
正如前面所举的例子:
这些当n趋近于无穷大时,结果都为0,这样才有可能得到一个数字作为结果,像这样的级数称为是收敛的。
反观1 1 1 1 ……,结果便只能是无穷大,并不能得到一个确定的数字。像这样的级数我们称为是发散的。
那是不是只要满足这一串相加的数列的极限为0就好了呢?
03 必要不充分计算:
这个级数我们称为叫调和级数,一直加下去,结果会是多少呢?
感觉一下?
结果等于正无穷,因为
所以想要结果有多大就有多大,也就是说即便这串数列的极限为0也不能保证一定由结果。
再比如还可以这么解释: