我们都听过全体自然数之和等于-1/12的玄学理论，很多人把这个结论当成一个笑话来看待，认为数学家们纯属吃饱没事干，这么明显错误的结论还在研究，根本毫无意义！
今天我们就来讨论一下，为什么数学家们认为全体自然数之和等于-1/12是正确的！这个结论是如何严格证明出来的？
1 2 3 …=-1/12
我们都知道，根据等差数列求和公式可得：
Sn=1 2 3 … n=n(n 1)/2
1 2 3 …就相当于当n趋于无穷大的极限值。
1 2 3 …
=lim(n→∞)(1 2 3 … n)
很显然当n趋于无穷大时，n(n 1)/2也趋近于无穷大。
也就是说，显然有：
1 2 3 …
=lim(n→∞)(1 2 3 … n)
=lim(n→∞)[n(n 1)/2]= ∞
1 2 3 …= ∞
这个结论毫无疑问是正确的，但是只能说是在实数范围内正确，如果我们将数域范围扩展到复数，情况就变得有些不同了。
我们都知道著名的欧拉公式：
e^(iθ)=cos(θ) isin(θ)
令θ=0，可得
e^0=cos(0) isin(0)
1=1 i×0=1
这看上去没有任何问题
但是正余弦函数的周期是2π
也就是说，只要
令θ=2kπ，k∈Z，都有
e^(2kπi)=cos(2kπ) isin(2kπ)
=1 i×0=1
1=e^(2kπi)，k∈Z
在实数范围内，1就是1，但在复数范围内，1有无数种表达形式。
也就是说，一旦将实数域扩展为复数域，事情就会变得有趣起来。实数域内负数不能开平方根，但复数域内可以；实数域内负数不能取对数，但复数域内可以。
这就是解析延拓，具体定义如下：
设函数f(x)在区域D内解析，考虑一个包含D的更大区域G，如果存在函数F(z)在G内解析，并且在D内有F(z)=f(z)，则称函数f(z)可以解析延拓到G内，并称F(z)为f(z)在区域G内的解析延拓。
我们可以简单理解为解析延拓后的函数F(z)可以兼容原函数f(x)的所有性质。
