任意数和零的区别,一和零的主要区别

首页 > 经验 > 作者:YD1662024-01-01 23:17:55

七年级数学上册知识点总结

任意数和零的区别,一和零的主要区别(1)

第一章 有理数

1.1 正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数:比0小的数 正数:比0大的数 0既不是正数,也不是负数

注意:①字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。(如果出判断题为:带正号的数是正数,带负号的数是负数,这种说法是错误的,例如 a,-a就不能做出简单判断)

②正数有时也可以在前面加" ",有时" "省略不写。所以省略" "的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量,则负数可以表示具有与该正数相反意义的量,比如:

零上8℃表示为: 8℃;零下8℃表示为:-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示" 没有",如教室里有0个人,就是说教室里没有人;

⑵0是正数和负数的分界线,0既不是正数,也不是负数。

(3)0表示一个确切的量。如:0℃以及有些题目中的基准,比如以海平面为基准,则0米就表示海平面。

1.2 有理数

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。

理解:只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。3,整数也能化成分数,也是有理数

注意:引入负数以后,奇数和偶数的范围也扩大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶数,-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

任意数和零的区别,一和零的主要区别(2)

总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

3.数轴

⒈数轴的概念

规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。

注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;⑶同一数轴上的单位长度要统一;⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理数可用原点左边的点表示,0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;

⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;

⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大(小)数

⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;

⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;

⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;

⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0

⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0

4.相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0。

注意:⑴相反数是成对出现的;⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;

⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数,且只有一个;

⑵0的相反数是0;

⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点;原点表示0的相反数。

说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号"-"即可求得(如:5的相反数是-5);

⑵求多个数的和或差的相反数时,要用括号括起来再添"-",然后化简(如;5a b的相反数是-(5a b)。化简得-5a-b);

⑶求前面带"-"的单个数,也应先用括号括起来再添"-",然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a是任意有理数,可以是正数、负数或0。

当a>0时,-a<0(正数的相反数是负数)

当a<0时,-a>0(负数的相反数是正数)

当a=0时,-a=0,(0的相反数是0)

5.绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身; ⑵一个负数的绝对值是它的相反数; ⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为:

①如果a>0,那么|a|=a; ②如果a<0,那么|a|=-a; ③如果a=0,那么|a|=0。

可归纳为①:a≥0,<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)

②a≤0,<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

经典考题

如数轴所示,化简下列各数

|a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b c|

解:由题知道,因为a>0 ,b<0,c<0, a-b>0, a-c>0, b c<0,

所以|a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b c|=-(b c)=-b-c

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a取任何有理数,都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;

⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0;

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:|a|≥a;

⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a(a>0),则x=±a;

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a b=0,则|a|=|b|;

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b或a=-b;

⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a| |b|=0,则a=0且b=0。

(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0)

经典考题

已知|a 3| |2b-2| |c-1|=0,求a b c的值

解:因为|a 3|≥0,|2b-2|≥0,|c-1|≥0,且|a 3| |2b-2| |c-1|=0

所以|a 3|=0 ,|2b-2|=0 ,|c-1|=0

即a=-3 ,b=1 ,c=1

所以a b c=-3 1 1=-1

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;

⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时, |a|=a ; ②当a≤0时, |a|=-a

6.已知一个数的绝对值,求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离,一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。如:|a|=5,则a=土5

1.3 有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;

⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;

⑶互为相反数的两数相加,和为零;

⑷一个数与零相加,仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律:a b=b a

⑵加法结合律:(a b) c=a (b c)

在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律:

①互为相反数的两个数先相加——"相反数结合法";

②符号相同的两个数先相加——"同号结合法";

③分母相同的数先相加——"同分母结合法";

④几个数相加得到整数,先相加——"凑整法";

⑤整数与整数、小数与小数相加——"同形结合法"。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大;加负数后的和比原数小;加0后的和等于原数。即:

⑴当b>0时,a b>a ⑵当b<0时,a b<a ⑶当b=0时,a b=a

4.有理数减法法则

减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a (-b)。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加法法则进行计算。

在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:

(-8) (-7) (-6) ( 5)=-8-7-6 5.

和式的读法:①按这个式子表示的意义读作"负8、负7、负6、正5的和"

②按运算意义读作"负8减7减6加5"

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧:

Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法)

(-33)-(-18) (-15)-( 1) ( 23)

原式=-33 ( 18) (-15) (-1) ( 23) (将减法转换成加法)

=-33 18-15-1 23 (省略加号和括号)

=(-33-15-1) (18 23) (把符号相同的加数相结合)

=-49 41 (运用加法法则一进行运算)

=-8 (运用加法法则二进行运算)

Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法)

( 6.6) (-5.2)-(-3.8) (-2.6)-( 4.8)

原式=( 6.6) (-5.2) ( 3.8) (-2.6) (-4.8) (将减法转换成加法)

=6.6-5.2 3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)

=(6.6-2.6) (-5.2-4.8) 3.8 (把和为整数的加数相结合)

=4-10 3.8 (运用加法法则进行运算)

=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算)

=-2.2 (得出结论)

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)

任意数和零的区别,一和零的主要区别(3)

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)

任意数和零的区别,一和零的主要区别(4)

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