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义务教育第一学段中七个除法相关概念的一种理解
作者：刘萌戈，王颖盈，刘辨学
作品编号：008
投稿时间：2020.7.15
摘要：本文选取了七个在义务教育第一学段中除法相关的概念，四则运算的关系、除与除以、零不能做除数、带余数除法中的余数、倍不是单位、分数线与除号、时与小时，在教学实践的基础上，提供一种教学方式与理解，希望帮助学生适当地理解这些概念，并掌握其应用。
关键词：四则运算的关系；除与除以；零不能做除数；带余数除法；倍不是单位；分数线与除号；小时的写法；第一学段
分类号：G623.5
《义务教育数学课程标准》中在“课程内容”部分明确要求在第一学段(一至三年级)“体会整数四则运算的意义”。事实上，就是要求学生掌握四则运算的概念。这其中，除法的概念相对比较困难。以下，作者分享七个除法相关概念的一种讲解方法，希望在数学严谨性与学生接受能力两者之间找到合理的平衡，供相关老师参考。同时，也推荐在螺旋上升的学习过程中，适时与同学讲解。
一、四则运算的关系
除法是减法的简便运算，“除”的意思是“去掉”(《词典》)，比如，从10里去掉2，这样的操作，能操作几次？10-2-2-2-2-2=0，一共操作了5次，这是减法。用除法就是10÷2=5。
基本的运算只用两种：加法与乘法。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。不讲“加法是减法的逆运算，乘法是除法的逆运算[2][3]”。
二、除与除以
4除8，的意思是“把4从8里去掉”，或理解为“4离开8”。
“以”是介词，意思是“用，拿”(《词典》)，8除以4的意思是“8这个数，用4来一次一次地去掉”。
8÷4，可以读作“八除以四”，或“四除八”。这方面，不同的学者有不同的看法以及讨论[4][5][6][7][8][9]。作为一学段学生，不需要了解这些过于学术性的内容，教师了解这些背景后有利于引导。
三、零不能做除数[10]
2÷0=？不论商为多少，在验算时，0乘以任何数都为0，不会为2。所以，不论商写多少，都不正确。
有同学会问：0÷0有没有意义？也是没有意义的。这个算式的结果可以是任意数，在验算时，任意数×0=0，所以0÷0的结果有无数种，这在小学数学里是不允许的[11]。
四、带余数除法中的余数
7÷3=2......1 (1)
9÷4=2......1 (2)
由此，有同学认为7÷3=9÷4。
带余数除法的结果不是一个数，是两个数。余数，看着相同，但意义不同。以分铅笔为例，7支笔3个人来分，每人分2支，还多出1支。9支笔4个人来分，每人分2支，还多出1支。商都是2，两个商的意义是相同的，即“每人分2支”。但余数的意义是不同的[12]。(1)式多出的1支，是给2人分的；(2)式多出的1支，是给4人分的。有的同学会进一步思考，2人分1支笔，就大于4人分1支笔，是不是可以认为7÷3>9÷4 ? 一学段学生还没学过分数比较大小，如果作出上述思考，作者认为，应该给予肯定。
五、倍不是单位
小张有10本书，小红有5本书。小张的书是小红的书多少倍？
错误写法：10÷5=2(倍)
倍表示数量之间的关系，数量本身有单位，但他们之间的倍数关系，是一个数，没有单位。
一种讲解：10本÷5本=2。这里，本与本的单位相互抵消了。
这里，有的学生会进一步思考这样的单位运算原理：20米÷4米/秒=5(秒)。由于一学段还没有学习分数的乘除法，可尝试用教材上的“路程÷速度=时间”来解释[13][14]。要求学生严格写出单位，为将来的量纲分析概念打下很好的基础[15]。
另一种讲解：如果倍是单位，在验算时就会发生这样的错误：5本×2倍=10本倍。
六、分数线与除号
一学段已经初步接触到分数概念，分数线可以理解为除号[16]，这样，1÷3与的含义就统一起来了，也能有效理解、的意义，为二学段中分数运算的学习打下基础[17]。理解了“分数线即是除号”后，自然就能理解“分母不能为零”[18]。
七、时与小时[19]
小时，表示的是一个范围，英语叫hour，比如：工作时间是2小时(two hours)。在写单位时，不引起混淆的情况下，“小时”可以简写为“时”[20]，还是要读为“小时”。
时，表示的是一个时间点，英语叫 o’clock，比如上午9时(nine o’clock)。
在部分地区，一学段已经学过以上两个英文表达。数学与英语对照学习，能加深印象。
速度单位是应该写为“千米/时”，读为“千米每小时”[21]。
作者分工：刘萌戈统筹全文，王颖盈提供了问题一与二的解释、并审核全文，刘辨学提出了问题四与八并审阅全文。
参考文献：
[1] 孙文，黄花冈七十二烈士事略·序
[2] 师兴宁,加法和减法互为逆运算吗?,小学教学参考,2007年29期:45
[3] 张景中,运算的规律,教育视界,2019年04期:74
[4] 杨国平，不妨把“除以”改为“除”，小学教学参考,2004年35期: 46-47
[5] 张海彬,“除以”和“除”的区别,小学教学研究,2006年08期: 44
[6] 张维宁 ,“除”和“除以”之我见, 小学教学参考,2007年17期: 48
[7] 张州杭, 从本质上来理解“除”与“除以”的含义,小学教学参考,2008年26期: 48
[8] 张维宁,花如成, 再谈“除”和“除以”,小学教学参考,2008年22期: 90
[9] 蒲艳琼,浅谈如何让学生理解除法中的“除”和“除以”的思考,课程教育研究,2020年09期:138
[10] 劳庆元, 这个课应该补上———谈“零不能作除数”,宁夏教育,1983年01期:28-29
[11] 黄开武，0为什么不能作除数，小学教学参考,2002年12期：44
[12] 胡秀霞，“带余除法”教学的实践与反思，小学教学参考，2018年26期：38-39
[13] 齐伟,数学课例:路程、速度和时间的关系,信息技术教育,2004年09期:10-11
[14] 刘燕,张云萍,王红杰,“路程、时间与速度”教学实录与评析,小学数学教育,2019年19期:51-54
[15] 张玲，在小学数学教学中应适当渗透“量纲分析”——计量单位计算的思想讨论，内蒙古教育，2008年17期：20-21
[16] 张菊,于“数与代数”中培养学生的合情推理能力——以“分数与除法的关系”教学为例，小学教学参考,2020年02期:64-65
[17] 马晓钰, 小学生小数除法理解水平的调查研究--以上海市Y小学为例,上海师范大学硕士学位论文
[18] 严家丽,王光明,“分母为什么不能为零”引发的思考,中学数学杂志,2010年08期:3-4
[19] 凌国伟，“时”和“小时”有什么不同，小学数学教师，2014年21期：156
[20] 中华人民共和国国家标准,GB 3102.1-1993,空间和时间的量和单位
[21] 上海教育出版社，《小学数学》三年级第一学期，11页的注释
