除法有几种定义,除法的知识有哪些

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除法有几种定义,除法的知识有哪些(1)

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义务教育第一学段中七个除法相关概念的一种理解

作者:刘萌戈,王颖盈,刘辨学

作品编号:008

投稿时间:2020.7.15

摘要:本文选取了七个在义务教育第一学段中除法相关的概念,四则运算的关系、除与除以、零不能做除数、带余数除法中的余数、倍不是单位、分数线与除号、时与小时,在教学实践的基础上,提供一种教学方式与理解,希望帮助学生适当地理解这些概念,并掌握其应用。

关键词:四则运算的关系;除与除以;零不能做除数;带余数除法;倍不是单位;分数线与除号;小时的写法;第一学段

分类号:G623.5

《义务教育数学课程标准》中在“课程内容”部分明确要求在第一学段(一至三年级)“体会整数四则运算的意义”。事实上,就是要求学生掌握四则运算的概念。这其中,除法的概念相对比较困难。以下,作者分享七个除法相关概念的一种讲解方法,希望在数学严谨性与学生接受能力两者之间找到合理的平衡,供相关老师参考。同时,也推荐在螺旋上升的学习过程中,适时与同学讲解。

一、四则运算的关系

除法是减法的简便运算,“除”的意思是“去掉”(《词典》),比如,从10里去掉2,这样的操作,能操作几次?10-2-2-2-2-2=0,一共操作了5次,这是减法。用除法就是10÷2=5。

基本的运算只用两种:加法与乘法。减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。不讲“加法是减法的逆运算,乘法是除法的逆运算[2][3]”。

二、除与除以

4除8,的意思是“把4从8里去掉”,或理解为“4离开8”。

“以”是介词,意思是“用,拿”(《词典》),8除以4的意思是“8这个数,用4来一次一次地去掉”。

8÷4,可以读作“八除以四”,或“四除八”。这方面,不同的学者有不同的看法以及讨论[4][5][6][7][8][9]。作为一学段学生,不需要了解这些过于学术性的内容,教师了解这些背景后有利于引导。

三、零不能做除数[10]

2÷0=?不论商为多少,在验算时,0乘以任何数都为0,不会为2。所以,不论商写多少,都不正确。

有同学会问:0÷0有没有意义?也是没有意义的。这个算式的结果可以是任意数,在验算时,任意数×0=0,所以0÷0的结果有无数种,这在小学数学里是不允许的[11]

四、带余数除法中的余数

7÷3=2......1 (1)

9÷4=2......1 (2)

由此,有同学认为7÷3=9÷4。

带余数除法的结果不是一个数,是两个数。余数,看着相同,但意义不同。以分铅笔为例,7支笔3个人来分,每人分2支,还多出1支。9支笔4个人来分,每人分2支,还多出1支。商都是2,两个商的意义是相同的,即“每人分2支”。但余数的意义是不同的[12]。(1)式多出的1支,是给2人分的;(2)式多出的1支,是给4人分的。有的同学会进一步思考,2人分1支笔,就大于4人分1支笔,是不是可以认为7÷3>9÷4 ? 一学段学生还没学过分数比较大小,如果作出上述思考,作者认为,应该给予肯定。

五、倍不是单位

小张有10本书,小红有5本书。小张的书是小红的书多少倍?

错误写法:10÷5=2(倍)

倍表示数量之间的关系,数量本身有单位,但他们之间的倍数关系,是一个数,没有单位。

一种讲解:10本÷5本=2。这里,本与本的单位相互抵消了。

这里,有的学生会进一步思考这样的单位运算原理:20米÷4米/秒=5(秒)。由于一学段还没有学习分数的乘除法,可尝试用教材上的“路程÷速度=时间”来解释[13][14]。要求学生严格写出单位,为将来的量纲分析概念打下很好的基础[15]

另一种讲解:如果倍是单位,在验算时就会发生这样的错误:5本×2倍=10本倍。

六、分数线与除号

一学段已经初步接触到分数概念,分数线可以理解为除号[16],这样,1÷3与的含义就统一起来了,也能有效理解、的意义,为二学段中分数运算的学习打下基础[17]。理解了“分数线即是除号”后,自然就能理解“分母不能为零”[18]

七、时与小时[19]

小时,表示的是一个范围,英语叫hour,比如:工作时间是2小时(two hours)。在写单位时,不引起混淆的情况下,“小时”可以简写为“时”[20],还是要读为“小时”。

时,表示的是一个时间点,英语叫 o’clock,比如上午9时(nine o’clock)。

在部分地区,一学段已经学过以上两个英文表达。数学与英语对照学习,能加深印象。

速度单位是应该写为“千米/时”,读为“千米每小时”[21]

作者分工:刘萌戈统筹全文,王颖盈提供了问题一与二的解释、并审核全文,刘辨学提出了问题四与八并审阅全文。

参考文献:

[1] 孙文,黄花冈七十二烈士事略·序

[2] 师兴宁,加法和减法互为逆运算吗?,小学教学参考,2007年29期:45

[3] 张景中,运算的规律,教育视界,2019年04期:74

[4] 杨国平,不妨把“除以”改为“除”,小学教学参考,2004年35期: 46-47

[5] 张海彬,“除以”和“除”的区别,小学教学研究,2006年08期: 44

[6] 张维宁 ,“除”和“除以”之我见, 小学教学参考,2007年17期: 48

[7] 张州杭, 从本质上来理解“除”与“除以”的含义,小学教学参考,2008年26期: 48

[8] 张维宁,花如成, 再谈“除”和“除以”,小学教学参考,2008年22期: 90

[9] 蒲艳琼,浅谈如何让学生理解除法中的“除”和“除以”的思考,课程教育研究,2020年09期:138

[10] 劳庆元, 这个课应该补上———谈“零不能作除数”,宁夏教育,1983年01期:28-29

[11] 黄开武,0为什么不能作除数,小学教学参考,2002年12期:44

[12] 胡秀霞,“带余除法”教学的实践与反思,小学教学参考,2018年26期:38-39

[13] 齐伟,数学课例:路程、速度和时间的关系,信息技术教育,2004年09期:10-11

[14] 刘燕,张云萍,王红杰,“路程、时间与速度”教学实录与评析,小学数学教育,2019年19期:51-54

[15] 张玲,在小学数学教学中应适当渗透“量纲分析”——计量单位计算的思想讨论,内蒙古教育,2008年17期:20-21

[16] 张菊,于“数与代数”中培养学生的合情推理能力——以“分数与除法的关系”教学为例,小学教学参考,2020年02期:64-65

[17] 马晓钰, 小学生小数除法理解水平的调查研究--以上海市Y小学为例,上海师范大学硕士学位论文

[18] 严家丽,王光明,“分母为什么不能为零”引发的思考,中学数学杂志,2010年08期:3-4

[19] 凌国伟,“时”和“小时”有什么不同,小学数学教师,2014年21期:156

[20] 中华人民共和国国家标准,GB 3102.1-1993,空间和时间的量和单位

[21] 上海教育出版社,《小学数学》三年级第一学期,11页的注释

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