什么叫对应边成比例,比例的性质9个公式

首页 > 经验 > 作者:YD1662024-01-04 04:37:44

教学反思:为什么判定相似不能用“边边角”?

什么叫对应边成比例,比例的性质9个公式(1)

我们在学习全等三角形的判定时,曾经讨论过“边边角”的条件,结论当然是显而易见,不能判定。在九年级学习相似三角形的判定时,又一次遇到这个问题,即两组对应边成比例,其中一组边的对角相等,能否判定两个三角形相似呢?

一、课堂实景

当我在课堂上抛出这个问题时,多数学生的第一反应是不能,只是稍停顿数秒,便有少数学生低声说也许可以,再等候几秒,变成了多数学生迟疑地说不能。

上述课堂现象反映出来的学生心理,先由思维惯势,既然全等无法使用“边边角”,那么相似也一定不能,然后试图打破这个惯势,却不太成功,所以变成了没把握,于是开始迟疑。

迟疑意味着求知,这便是良好的开端了。

处理这个环节之前,已经处理了两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,即“边角边”,图还在黑板上没擦掉,那便好好利用下它,如下图:

什么叫对应边成比例,比例的性质9个公式(2)

在前一个教学环节中,给出的条件是AB:A'B'=AC:A'C',∠A=∠A',现在我们将条件修改为AB:A'B'=AC:A'C',∠B=∠B',当然,就上面那两个图形,看起来依然是相似,不符合,需要修改。

我们观察其中一个三角形,例如△ABC,以点A为圆心,AC为半径作弧,与BC交于点D,如下图:

什么叫对应边成比例,比例的性质9个公式(3)

经过上述修改,AD=AC,因此我们将条件AB:A'B'=AC:A'C'中的AC替换成AD,于是△ABD与△A'B'C'之间满足AB:A'B'=AD:A'C',且∠B=∠B',显然这两个三角形不可能相似,前者是钝角三角形,而后者是锐角三角形。

二、教参解读

在教材中安排了这样的一个思考,非常适合于上述举证过程,引导学生画一画,再想一想,不难得到结论。

难的是,为什么要这样作图?

说明“边边角”不能判定两个三角形相似,采用的是举反例的方法,既然是举反例,尽可能在原有条件结论中找,所以需要寻找两边对应成比例且一边对角相等,但又不相似的图形,最好是一眼能看出不相似,例如一个是钝角三角形而另一个是锐角三角形,形状不可能相同。

方法仍然从全等三角形中迁移过来,我们在说明全等三角形不适用“边边角”时,就曾经这样作图举例,这次采用同样的方式,构造出一对满足条件但不相似的三角形。

在教参上,对于此处也有说明,并且也给出了反例,我认为可以作为拓展,如下图:

什么叫对应边成比例,比例的性质9个公式(4)

△ABD和△ABC中,AD=AC,于是我们可以得到AB:AD=AB:AC,∠B是公共角,这不正好满足“两边对应成比例且其中一边的对角相等”吗?显然不可能相似。

将教参上的图例和前面的图例进行比较后,发现这其实是一种方法,在实践中发现,前一种方法比后一种连贯自然一些,而后一种观察出不相似更直接一些。

三、思考启示

对后续教学环节的启示是,“边边角”并不能判定一般的两个三角形相似,那么特殊三角形呢?回忆对比全等三角形的相关结论,直角三角形的全等既然有“HL”,那么直角三角形的相似会不会也有“HL”呢?而这个“HL”,也就是一种特殊的“边边角”罢了,那个角是直角。

教参中对每一种相似三角形的判定定理,都给出了证明方法,但学生理解较为困难,其基本思路是“构造相似,证明全等”,构造相似较容易,作平行线即可,在前面结论“有平行必有相似”的铺垫下,将较小的三角形“放”到较大的三角形中进行形状比较,这个“放”是否成功,就需要找齐它们全等的三个条件。

无论是“边边边”、“边角边”都是利用了这种基本思路,事实上在教学中,每一个定理的证明都能推导,在书写过程中,学生能意识到,这其实是一类方法。

而这种经过反复论证使用的方法,大概率会成为学生心里的常法。

在学习相似的过程中,会不断与前面所学的全等进行比较,在这个过程中,除了深化全等知识之外,对相似的理解也有帮助,特别是相似三角形的“摆放”方式,平时的例题学习中,尝试从识别中提炼经验,提升识图能力,形成学生自己的解题思维。

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