在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。
如果说这种几何图形的证法有点晦涩难懂的话，把它“翻译”成代数证法就清楚多了：
代数解释一
于是可得p>q>c>a>…,但是，正整数必有最小元的，由此得到矛盾。
代数解释二
这种解释不过是对上述代数解法的另一种重新表述，实质上没有区别。
如图，设ABCD是边长为1的正方形，对角线AC=√2，我们用BC来量AC，在AC上截取CE=BC=1，
于是得 AC=BC AE,
即 √2=1 r1.(r1=AE<1).
第二步用AE来量BC=AB=1，即用r1来量1.注意到△ABC中BC=EC,故若过E作AC之垂线交AB于F,则FB=EF=AE=r1.在AF上截取AG=AE=r1,可见
1=2r1 r2.(r2=GF<r1).
但是，用AE来量AF，这恰巧又是用正方形的边来量它的对角线！因而GF:AE=AE:1，
这是一个永远不会结束的过程。
可以把上述过程改写成下列形式：
