对于整数a和不为零的整数b,若存在整数m,使得a=mb,则称a能被b整除或者b整除a。此时也称a是b的倍数或b是a的约数,记为:b|a
被2整除数的特征若一个整数的个位是偶数,即个位是0,2,4,6,8,则该数能被2整除。
推广:若一个整数的后两位能被4整除,则该整数能被4整除;
若一个整数的后三位能被8整除,则该整数能被8整除;
若一个整数的后四位能被16整除,则该整数能被16整除;
……
结论:
被3整除数的特征若一个整数的数字和是3的倍数,则该整数能被3整除.
如:315的数字和是3 1 5=9,因为9是3的倍数,因此315能被3整除。
被5整除数的特征若一个整数的个位能被5整除,即个位是0,5,则该数能被5整除。
推广:若一个整数的后两位能被25整除,则该整数能被25整除;
若一个整数的后三位能被125整除,则该整数能被125整除;
若一个整数的后四位能被625整除,则该整数能被625整除;
……
结论:
被9整除数的特征若一个整数的数字和是9的倍数,则该整数能被9整除。
如:29817的数字和是2 9 8 1 7=27,因为27是9的倍数,因此29817能被9整除。
被11整除数的特征(奇偶位差法)若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差(大减小)能被11整除,则该整数能被11整除。
如:178926:
奇数位数字和:6 9 7=22 偶数位数字和:2 8 1=11
因为22-11=11,11是11 的倍数,因此178926能被11整除。
被7、11、13整除数的特征(割减法)若一个整数的末三位与末三位之前的整数的差(大减小)能被7(11、13)整除,则该整数能被7(11、13)整除。
如:10206
后三位是206,后三位之前是10,作差是206-10=196,因为196能被7整除,所以10206能被7整除。
被27、37整除数的特征从个位起,每三位一节,将各节上的数求和,若该和能被27(37整除),则该整数能被27(37)整除。
如:2560437
因为2 560 437 = 999,999是27的倍数,也是37的倍数。因此2560437能被27和37整除。
被个位是9(k9=10k 9)的数整除数的特征我们可以把9之前的数记为k,去掉个位数后,再加上“个位数×(k 1)”连续反复该变换。 若结果=k9 ,则该整数能被k9整除。
下面举出几种实例
(1)被19整除数的判断:
(2)被39整除数的判断:
(3)被79整除数的判断:
若非零整数a=bc(b,c互质),则一个整数被a整除即能被b和c同时整除。如:一个整数被6整除,即能同时被被2和3整除。
一个整数被15整除,即能同时被被3和5整除。