为什么平均分在这种情况下好像并不好用了呢？原因很简单，因为二班的成绩波动太大了，接近满分和接近0分的人都有很多，而平均分会把这些波动给抹掉。因此，如果我们想更好地描述二班的情况，那就得想办法描述这种波动，如何描述呢？
这时候，我们就要引入两个新的量：方差和标准差。
03方差和标准差
方差是怎样体现班级的成绩波动的呢？
思路也很简单，一班的分数大多在70到80分之间，假设它们的平均分是75分吧。当我们说一班的成绩波动很小时，我们其实是在说一班的大部分成绩都在75这个平均分附近，它们相对平均分的波动很小。当我们说二班的成绩波动很大时，也是在说二班的大部分成绩距离它们的平均分（假设是74分）比较远，大家相对平均分的波动很大。
所以，如果想计算一个班级的整体波动，那你就先把这个班级的平均分算出来，再把每个人相对平均分的波动算出来，最后把所有波动加起来再除以总人数，这样得到的结果就能大致反映一个班级的整体波动了，这也是计算方差的大致思想。
比如，一班的平均分是75分，有个同学考了70分，跟平均分差5分；有个同学考了80分，跟平均分也差了5分。我们把所有人跟75这个平均分的差值都算出来，把它们加起来再除以总人数，得到的结果就能大致反映一班成绩的波动情况了。
但大家很快就会注意到：直接用每个人的分数减去平均分的差来度量这个波动是不行的。因为考了80分的同学减去平均分75等于5，考了70分的同学减去平均分75等于-5，你把它们直接加起来，那总的波动就是5 （-5）=0了，这肯定不对。
要解决这个问题，很多人的第一反应是给它套个绝对值。没错，套了绝对值以后，负数就变成了正数（|5| |-5|=5 5=10），这样就不会再出现“正负相消”的情况了。这样处理在理论上没啥问题，但绝对值在具体计算时会比较麻烦，为了方便计算，我们采用了另一种方式：给它套个平方。
大家知道，负数的平方也是正数，这样它也能达到绝对值的效果，但计算起来会更方便。
比如，对于考了70分的同学，我们用70减去平均分75，再套个平方（70-75）²=25来表示这个波动；对于考了80分的同学，我们就用（80-75）²=25来表示这个波动，其他人以此类推。把所有人相对平均分的差的平方都加起来，再除以总人数就得到了衡量班级整体波动水平的方差。
有了方差，我们就能看清各个班级的波动情况了，也能清楚地看到二班的成绩波动确实比一班大。
一班的平均分是75分，大量考了70分的同学产生的波动只有（70-75）²=25；假设二班的平均分是74分，那考了100分的同学立马就会产生（100-74）²=676的波动，考了0分的同学更是以一己之力就能贡献（0-74）²=5476的波动值。闭着眼睛都知道，二班的方差肯定会远远大于一班，这也反映了二班成绩的波动远远大于一班。
所以，通过方差，我们确实能够判断样本的波动情况。不过，从上面的例子大家也能看到，方差虽然好用，但它的数值还是有点偏大（考了0分的同学对应的值竟然高达5476，这让我们很难直观地作判断）。为了方便判断，我们对方差再开个根号（方差是9，标准差就为3），这样就得到了标准差（一般用σ来表示），后面我们使用的也都是标准差σ。
平均值、方差和标准差都是概率统计里最基础的东西，大家在中学数学里也学过了，这里我就不再细说了。在这里，我们只要知道方差和标准差可以衡量一个样本的波动情况，方差、标准差大，就说明它们偏离平均水平越厉害就行了。
04不确定性原理
好，再回到主题。我们刚刚不是在讲不确定性原理的么，为什么这里突然讲起了方差和标准差？
那是因为，大家经常看到的不确定性原理的表达式ΔxΔp≥ℏ/2（ℏ=h/2π），这里的Δx和Δp指的就是标准差，而不是大家先入为主地以为的测量误差。
什么意思？
意思就是，你经常看到的不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2，它说的是位置x和动量p的标准差的乘积最小只能为ℏ/2，它说的是统计意义上的标准差的乘积不能无限小，而不是说测量时的干扰误差。
很多人一看到Δx，潜意识里就会认为这是一个微小的位置变化。到了不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2这里，就很容易把Δx当成测量位置时由于干扰带来的误差，这样就很容易陷入一开始说的那种对不确定性原理的错误理解中去，让我们误以为粒子的不确定性是由测量的扰动引起的。
如果这里不是用的Δx和Δp，而是σx和σp，那不确定性原理是不是就没那么容易引起误解了呢？
在很多书里，位置-动量不确定关系确实写作σxσp≥ℏ/2 (ℏ=h/2π)，这里的σx、σp并不是测量位置、动量时的干扰误差，而是从统计意义上来说的位置和动量的标准差。
那问题就来了：一个粒子的位置和动量，怎么会有统计意义上的标准差呢？
在经典力学里，这个概念当然是毫无意义的。经典力学的粒子在任何时候都有确定的位置和动量，它们没有任何波动，谈论单个粒子的位置和动量在统计意义上的平均值和标准差也显得相当搞笑。
但到了量子力学，情况就完全不一样了。在量子力学里，只有当系统处于位置本征态时，粒子的位置才是确定的；当系统处于位置叠加态时，粒子的位置就是不确定的。测量时有一定的概率处于这个位置，有一定的概率处于那个位置，我们还能算出具体的概率值。
当粒子有一定概率在这，也有一定概率在那时，我们不就可以计算粒子的位置平均值了么（假设有许多跟它一模一样的粒子，我们一个个去测量，再统计它们的平均值）？有了平均值，每个可能的位置相对平均值的波动也能算出来，于是，我们就能计算出粒子的位置标准差σx，动量标准差σp也一样。
这样一来，我们就能从统计意义上谈单个粒子的各种力学量的平均值、方差和标准差了，因为粒子的力学量在一般状态下并没有确定值。
