如果力学量A和力学量B对应的算符是对易的，也就是说[A,B]=0，那不等式的右边就变成了0。于是，这个不等式就变成了“力学量A和B的标准差的乘积σAσB≥0”。
有人说这不是废话么？标准差σ肯定是大于等于0的啊！我们在求方差的时候就是先套了个平方，确保所有的数都非负，标准差不过是对方差再开个根号，那结果肯定还是非负啊。所以，当力学量A、B对应的算符对易时，这个式子相当于在说“它们标准差的乘积大于等于0”，这是一句废话。
话不能这么说，当力学量A、B对易，也就是[A,B]=0的时候，最一般的不确定关系给出的限制是σAσB≥0。虽然标准差确实都大于等于0，但如果不确定关系给出的限制是σ≥0，这起码说明σ可以取0。因为如果限制是σ≥3，那σ就不能取0、1、2了。
所以，如果力学量A、B对易，最一般的不确定关系给出了限制σAσB≥0，这起码说明：它允许力学量A、B的标准差同时为0，也就是允许σA=σB=0。
那么，允许力学量A、B 的标准差同时为0，这又意味着什么呢？
前面我们讲过了，标准差是反映样本的波动情况的。在量子力学里，如果系统状态ψ确定了，概率分布也就随之确定了，我们就可以算出这个状态下任意力学量的平均值，进而求出它们的标准差σ。我们还知道标准差是非负的，这就意味着力学量可以取的值只要有一个不等于平均值，它就会让力学量的标准差σ＞0。
比如，还是假设粒子有70%的概率位于x=1处，有30%的概率位于x=2处，在这个状态里，粒子的位置平均值x=1×0.7 2×0.3=1.3。又因为粒子可以取的两个值x=1和x=2都不等于平均值1.3，那它们在计算方差时肯定会产生大于零的（1-1.3）²=0.09和（2-1.3）²=0.49，最终的方差和标准差都大于0。
如果你想让这个粒子的位置标准差σx=0，那就必须让粒子所有可能取的位置都等于它的平均值。因为只有这样，每个位置减去平均值的结果才是0，一堆0加起来还是0，于是标准差才能为0。
那么，“粒子所有可以取的位置都等于平均值”又意味着什么呢？我们知道，系统状态确定后，平均值就是一个定值。你想让粒子所有可以取的值都等于这个平均值这个定值，那就只能让粒子的位置只能这取一个值，并且就等于它的平均值。
那么，粒子的位置在什么情况下只能取一个值呢？这个答案我们就非常熟悉了：当粒子处于位置本征态的时候！
绕了一圈，我们发现如果想让粒子的位置标准差σx=0，那就必须让粒子处于位置本征态，这样我们就在标准差和系统状态之间搭起了一座桥梁。
其实，只要稍微想一下，你就会觉得这是非常自然的事情：当电子处于位置本征态时，它的位置就只能取这一个值，那自然就没有波动，标准差σx也为0；当电子处于位置叠加态时，它的位置可以取多个值，那平均值自然就不可能再跟所有的值一样，这样就有了波动，标准差σx也不再为0。
总而言之，我们发现如果两个力学量A、B对易，那最一般的不对易关系就变成了σAσB≥0，它允许A、B的标准差同时为0。而标准差为0就意味着系统必须处于该力学量的本征态，如果σA=σB=0，那就意味着粒子必须处于力学量A的本征态，同时也必须处于力学量B的本征态。
换句话说，如果力学量A、B对易，那它们就可以拥有共同的本征态。当系统处于它们的共同本征态时，力学量A、B的标准差σA和σB同时等于0，而这个结果并不违反σAσB≥0。
08不对易力学量
如果力学量A、B不对易，那情况就完全不一样了。
位置和动量就是一对不对易的力学量。为什么位置和动量不对易呢？我们可以来算一下。
在量子力学中，动量算符p在位置表象下可以写成-iℏ∂/∂x，位置在它本身的表象里自然就是x。我们想看看它们对不对易，那把它们代入对易关系[x,p]=xp-px算一算就行了。
如果[x,p]=0，那就说明位置和动量对易；如果[x,p]≠0，那就说明位置和动量不对易。
算符可以作用在矢量和函数上，把它变成另一个矢量和函数。既然位置算符x和动量算符p都是算符，它们的对易关系[x,p]=xp-px也是算符，那我们就让[x,p]作用在函数f(x)上：
计算过程都非常简单，因为[x,p]是作用在一元函数f(x)身上，因此动量算符里的偏导数∂/∂x就可以直接改成d/dx，我们在分子分母上同时乘以一个虚数单位i，就成了上面的样子。
计算的第一步就是把[x,p]f(x)展开为xpf(x)-pxf(x)，再把动量算符代入进去。xpf(x)表示我们先用动量算符p作用在函数f(x)上，再用位置算符x去作用；pxf(x)只是调换了下顺序，表示先用位置算符x作用在函数f(x)上，再用动量算符p去作用。
第二步就是套了一个乘积的求导公式，然后发现前两项可以消去，最后就得到了结果iℏf(x)。
从这个结果我们可以看到：[x,p]f(x)并不等于0，而是等于iℏf(x)。我们把f(x)都去掉，就得到了位置算符x和动量算符p的对易关系：
因为[x,p]≠0，所以位置和动量不对易。这个式子非常重要，它被称为正则对易关系。
在经典力学里，任何力学量都可以写成位置x和动量p的函数，所以，量子力学里任何有经典对应的力学量之间的对易关系，都可以从位置-动量这个最基本的正则对易关系里导出来。
从更深的意义上来说，量子力学里各种神奇的特性最终都可以追溯到这个最基本的对易关系上来。因此，有的教材是把正则对易关系[x,p]=iℏ当作基本假设提出来的。
大家再看看下这个对易式[x,p]=xp-px=iℏ，它告诉我们：对于同一个函数f(x)，先用动量算符p作用再用位置算符x作用的结果xpf(x)，跟先用位置算符x作用再用动量算符p作用的结果pxf(x)竟然不一样，它们的差并不等于0，而是等于iℏf(x)。
09位置-动量不确定关系
有了位置算符x和动量算符p之间的对易关系[x,p]=iℏ，我们把它代入最一般的不确定关系：
