再回到前面的例子，我们假设电子处于某个位置叠加态，测量时有70%的概率处于x=1处，有30%的概率处于x=2处。虽然我们不知道测量时电子到底会在x=1还是x=2处，但我们还知道它的平均值一定是x=1×0.7 2×0.3=1.3。
而且，我们知道这个平均值跟你测不测量无关，只要系统状态确定了，概率分布确定了（70%的概率x=1，30%的概率x=2），我们就能在测量之前把平均值x=1.3算出来。算出了位置平均值，我们一样可以仿照班级考试的例子，算出电子在这个状态下位置的标准差σx，并用它来衡量电子位置的波动情况。
因为这个σx也是在测量之前算出来的，所以我们不需要等测量结束，也不需要知道测量过程中到底有多大扰动就能算出电子的位置标准差σx，它跟你测不测量完全无关。
假如粒子处在状态一的时候，它有50%的概率处于x=4.9处，有50%的概率处于x=5.1处，此时的平均值为x=5；粒子处于状态二的时候，它有50%的概率处于x=1处，有50%的概率处于x=9处，此时的平均值还是x=5。这两个状态下粒子的位置平均值都一样，但我们闭着眼睛都知道状态二的波动更大，所以它的位置标准差σx也更大。类似的，我们也能算出粒子在各个状态下的动量标准差σp。
也就是说，只要系统状态确定了，不管你有没有测量，我们都能算出粒子的位置和动量的标准差σx、σp。那么，这个σx和σp有没有什么关系呢？
经过一番数学推导，我们发现粒子在不同状态下虽然会有不同的位置标准差σx和动量标准差σp，但不论系统状态如何变化，也不论σx和σp跟着如何变化，它们的乘积σxσp都不可能小于ℏ/2。这就是大家最为熟知的位置和动量的不确定关系σxσp≥ℏ/2。
这个推导过程我们后面再说，在这里，我们起码能清晰地看到：粒子的位置平均值是在测量之前就能算出来的，位置和动量的标准差σx、σp也是在测量之前就能算出来的，所以，经过数学推导得到的位置-动量不确定关系σxσp≥ℏ/2也是在测量之前就能得到的。
如果我们在测量之前就能得到这个关系式σxσp≥ℏ/2，那你还能说不确定性原理是由于测量的扰动引起的么？你都还没有开始测量，那还谈什么测量带来的干扰误差？
这样的话，大家能理解为什么我们之前一直说“不确定性原理并不是由于测量造成的，它是粒子的固有性质，跟你测不测量无关”了么？
05一般的不确定关系
大的基调定下来之后，我们再来看看具体的推导过程。
在这里，我们先不盯着位置和动量，而是先考虑更一般的情况。假设有两个任意的力学量A和B，系统状态确定以后，概率分布就确定了，我们就能算出力学量A、B的平均值，进而算出这两个力学量的标准差σA和σB。
那么，不同力学量的标准差之间又有什么关系呢？
利用施瓦茨不等式，经过一番纯数学推导，我们就得到了这样一个关系式：
具体的推导过程比较无趣，我这里就不写了，感兴趣的可以自己去翻一翻量子力学教材。但大家要清楚，我们这里没有引入任何额外的假设，我们只是用了标准差的基本定义，然后利用施瓦茨不等式就得到了上面的不等式。所以，这是一个普适的关系式，是最一般的不确定关系。
它告诉我们：任意两个力学量的标准差的乘积σAσB必须大于等于这两个力学量的对易式[A,B]的平均值（<>代表求平均值）的绝对值的一半。
说起来有点拗口，但平均值和绝对值大家都很熟悉，这里真正起决定作用的是A、B的对易式[A,B]，只要对易式确定了，这个不等式就确定了。而算符A、B的对易式是这样定义的：[A,B]=AB-BA，也就是把两个算符的作用顺序交换一下，再相减。
很多人看到这个对易式之后心里就在犯嘀咕：AB-BA不应该恒等于0么？就像3×5-5×3=0一样，任何两个数交换相乘的顺序，得到的乘积应该都一样，它们相减之后的结果肯定就是0啊。
如果[A,B]恒等于0，那你定义这个又有什么意义？
没错，我们从小就学了乘法的交换律：如果A、B都是数，两个数交换顺序，最后的乘积肯定不变。所以AB一定等于BA，[A,B]=AB-BA就一定恒等于0。
但是，我们这里的A、B并不是数啊，它们是描述力学量的算符。我们确实从小就学了数的乘法交换律，但你有学过算符的乘法交换律么？
没有吧！也不可能学过，因为算符之间压根就没有普适的乘法交换律。有的算符之间可以交换乘法顺序，有的则不能，这跟数的情况完全不一样。
那么，算符的乘法是什么意思呢？两个算符之间可以交换乘法顺序又是什么意思？
06对易式
在量子力学里我们描述的系统状态可以用矢量来理解，用算符描述力学量。算符可以作用在一个矢量上，把一个矢量变成另一个矢量。比如，我们对一个矢量进行平移、旋转、投影操作，就会对应有平移算符、旋转算符、投影算符。我们把平移算符作用在一个矢量上，就会把一个矢量平移到另一个地方，其它算符也类似。
在A、B的对易式[A,B]=AB-BA里，A、B都是算符，而系统状态ψ是矢量，所以我们就可以把算符B作用在态矢量ψ上，这样就得到了新的矢量Bψ。而Bψ也是一个矢量，那我们又可以把算符A作用在矢量Bψ上，这样得到的新矢量就是ABψ。
也就是说，算符是从右往左依次作用在矢量上的，ABψ就代表态矢量ψ先被算符B作用了一次，然后又被算符A作用了一次。如果A代表平移算符，B代表旋转算符，那ABψ就代表先把态矢量ψ旋转（B）了一下，再把这个矢量平移（A）了一下；而BAψ就代表先把态矢量ψ平移（Ａ）了一下，再把这个矢量旋转（Ｂ）了一下。
这样一来，算符Ａ、B的对易式[A,B]=AB-BA就很好理解了：因为A、B都是算符，AB和BA表示两个算符的连续作用，那就还是一个算符，所以它们相减的结果AB-BA仍然是一个算符。
既然是算符，那我们自然就可以把算符[A,B]作用在矢量ψ上，这就相当于一方面先用算符B后用算符A作用在矢量ψ上（得到了ABψ），另一方面先用算符A后用算符B作用在矢量ψ上（得到了BAψ），最后再把这两种方式得到的矢量相减ABψ-BAψ。
如果先A后B作用在矢量ψ上，与先B后A作用在矢量ψ得到的结果是完全一样的，也就是说[A,B]ψ=ABψ-BAψ=0，那就说明算符A、B之间的乘法是可以交换顺序的，这时候我们说算符A和算符B是对易的。比如，同一平面内两个旋转算符就是对易的，你想想，把一个矢量先旋转一定角度α，再旋转一定的角度β，跟你先把矢量旋转一定的角度β，再旋转一定角度α得到的结果是不是一样的？
当然，并不是所有的ABψ-BAψ都等于0。当[A,B]≠0的时候，那就说明算符A、B之间的乘法顺序不可交换，我们就说算符A和算符B不对易。比如，平移算符和空间反射算符就不对易，你想想，把一个矢量先向右平移一段，再以原点为中心翻转一下，跟你先把矢量翻转一下，再向右平移的结果一样么？
再比如，同样一本书，你先围绕x轴旋转，再围绕y轴旋转，得到的结果跟你先围绕y轴旋转，再围绕x轴旋转的结果还一样么？
这些例子都非常简单，大家仔细琢磨一下，就会发现两个算符之间对易或者不对易都是有可能的。
07对易的力学量
理解了算符乘法和数乘之间的不一样之后，我们再回头看看那个最一般的不确定关系：
