图1 卫星轨道
雷达高度计（Altimeter，ALT）是遥感卫星的一种重要传感器设备，可以测量卫星与其在地球表面投影点（称星下点）之间的距离，也就是卫星在地球表面上方的高度。卫星高度计最初的成果就是测量地球形状及大地水准面，进而计算全球重力场。通过卫星高度计获取的数据已广泛地应用于海洋学、大地测量学、地球物理学、气候学、水文地理学和海洋生物学等领域的研究。尤其是在海洋学研究方面，卫星高度计为研究全球海平面、海洋环流及其随时间的变化提供了一种强有力的工具。中国的天宫二号空间站以及多颗遥感卫星上都装载了这种设备。
卫星雷达高度计的基本原理是通过向星下点发射无线电脉冲并测量从地球表面返回的回波的时间间隔，来测量卫星到反射表面之间的距离，如果时间间隔是ΔT，则高度
，其中c是光速。如图2所示，由于雷达高度计天线尺寸较小，其发射的无线电信号是在一个锥形空间里向下传播的，锥角θ一般是1°~2°，照射到地球表面的范围近似是一个圆形（称为足印Footprint）。高度计的测量值实际是卫星与星下点间的距离，但简单起见，可近似认为这个圆形区域内的地球表面离卫星的距离相同。另外，雷达高度计以很快的重复频率发射脉冲，相邻的足印区隔得很近，这些圆形的足印区连在一起就形成了一个带状的观测区。
图2 卫星高度计原理
1.3 问题
（1）根据卫星轨道的简单模型，建立用雷达高度计测量数据推算地球表面形状的数学模型。
（2）对于一颗给定轨道参数及其雷达高度计锥角（或足印区大小）的卫星，建模分析最少需要多长时间才能把地球尽可能完整、均匀地测量一遍？选择一颗在轨的遥感卫星，将其参数代入所建立的模型，计算该卫星完整测量地球所需的时间。
（3）如果在一颗卫星上可以安装多个高度计，该卫星如何只利用这些高度计的测量数据确定自己的空间位置？
IMMC2017A题主命题人是中国空间技术研究院首席研究员、卫星总设计师、总指挥张润宁博士。2017年6月17日，IMMC师生在同济大学数学学院聆听张博士远程报告之后，与IMMC国际专家组成员合影留念。
2 解法摘要
2.1 对问题（1）的解法讨论
一、台北中山女子高级中学队的解法
步骤一：设卫星S的椭圆形轨道的方程式为
