弧长公式推导过程,弧长公式的推导方程式

至此，问题关键转变为：求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这个根据《矢量分析》的知识有，

注：ǁxǁ 表示向量x的长度，也叫模或范数；< x, y> 表示向量x和y的内积（为了区别于二元坐标向量，本系列一律使用尖括号表示内积）。

于是，

这与我们一开始计算出来的结果一致。

若将上面的流形从 ℝ² 替换为 S²，则光滑映射，

在S² 中的像是 Cʳ，（当然，这里需要规定 r < 1）。

用类似上面的方法，同样可以得到 ⑴，所以关键是：求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这有，