（文章序列号：y3）
话题：#科学# #数学# #黎曼几何#
小石头/编
计算半径为 r(>0) 的圆Cʳ上，弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情，
由于，Cʳ的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长，所以得到，s=2πr⋅θ/2π=rθ。
但是，若R处于流形中，我们又该如何计算呢？
任意维度的欧氏空间 ℝⁿ 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 构成的流形。考虑流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射，
它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。
我们在 ℝ 中取长度为θ开区间 V=(a, b) ，则 弧f(V)的长度就是所求s。如图1，将V平均分为v个小区间，令x₁=a，xᵥ₊₁=b，这些分割点的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度，小弧长度之和就是s。
图1：计算弧长
每个小区间 (xᵢ, xᵢ₊₁)，都对应 导射 df|ₓᵢ ，它是 xᵢ 处切空间 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 处的切空间 Tℝ²的线性映射，又因为 Tℝₓᵢ就是ℝ， 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量，故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量，同时也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 点 的切向量。
我们知道，当v趋近无穷大时，Δxᵢ趋近0，于是 弧长 sᵢ 趋近 弦长 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ，而此时，弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ，于是有，
进而，
