这与前面的结果相同，故，最终的弧长也和前面完全一样。
实际上，对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ℝ→M 的弧长s的计算，都可以 推导 出公式 ：
所以，问题的关键是：
- 求空间 TM 中向量 df|ₓ(1) 的长度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。
这样就将，流形中任意两点间的任意弧长的度量问题，转变为，对于切空间中切向量长度的度量问题。也即是说，我们只需要在切空间中定义切向量h的度量ǁhǁ，就可以通过 ⑴，在流形中诱导出弧长度量。而根据《矢量分析》的知识知道：
因此，最终的关键是，要给M的每个点x对应的切空间TMₓ 定义一个内积 <⋅, ⋅>，更具体地说，我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g，对于每个 x∈M，有 g(x) = <⋅, ⋅>：TMₓ×TMₓ→ℝ，而由《高等代数》的知识知道，<⋅, ⋅> 是TMₓ 上的二重线性函数，并且必须满足：
- 对称性：<u, v> = <v, u>；
- 正定型：<u, u> ≥ 0 且 <u, u> = 0 ⇔ u=0；
这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric），定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形（riemannian manifold）。
图2：黎曼度量
我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间，实际上所谓加入黎曼度量，就是以光滑的逐点方式，让流形上的每个切空间变成内积空间的过程。
内积可以很多，我们熟悉的的向量点乘：
