证明ab＋cd＝ef（其中a、b、c、d、e、f为图中已知的线段）几何题历来是中学数学学习中难点，面对这类问题一开始就令人觉得无从下手，或思考不了几步便黔驴技穷，最终都不得不遗憾地放弃．
笔者通过对这类问题的探索，发现这类的证明大多遵循着这样的思路：在线段e上找到一个点X，把该线段分为两条m、n，使其中的一条m满足ab=mf，然后再证明另一条n满足cd=nf，此时再把两式相加便有ab＋cd＝mf＋nf＝（m＋n）f＝ef．
这种解法跟代数中列方程解应用题的"设元"有点类似，姑且称之为——设未知点法．
具体请看以下几例．
例1 如图1，AB是半圆的直径，弦AC、BD相交于点E．
求证：AE·AC BE·BD＝AB^2．
证明：设X是AB上一个点，则
＝AB（AX BX）＝AB·AX AB·BX，
令点X满足：AE·AC= AB·AX…………（1）
即AE/AB=AX/AC．
连接BC．
因为∠EAX＝∠BAC，
所以ΔAXE∽ΔACB，
所以∠AXE＝∠C，
因为AB为直径，所以∠C＝90°，
所以∠AXE＝90°，
所以∠BXE＝90°．
连接AD．则∠D＝90°，
因为∠EBX＝∠ABD，
所以ΔBEX∽ΔBAD，
所以BE/BA=BX/BD，
所以BE·BD=BX·AB………………（2）
（1） （2），得：
AE·AC BE·BD=AB·AX BX·BA
＝AB·（AX BX）＝AB·AB=AB^2，
即AE·AC BE·BD＝AB^2．
例2 如图2，ABCD是圆内接四边形．
求证：AB·CD AD·BC＝AC·BD（托勒密定理）．
证明：在AC上取点X，使
AB·CD＝AX·BD…………（1）
连接BX，则在ΔABX与ΔDBC中，
AB/AX=BD/CD，
因为∠BAX＝∠BDC，
所以ΔABX∽ΔDBC，
所以∠ABX＝∠DBC，
所以∠ABX－∠DBX＝∠DBC－∠DBX，
即∠ABD＝∠CBX，
又∠ADB＝∠BCX，
所以ΔABD∽ΔXBC，
所以AD/XC=BD/BC，
所以AD·BC＝XC·BD…………（2），
（1） （2），得
AB·CD AD·BC＝（AX XC）·BD＝AC·BD．
例3 如图3，等腰ΔABC中，AB＝AC，D是底边BC上任一点．
求证：AB^2=AD^2 BD·DC．
证明：在AB上取点X，使
AD^2=AX·AB………（1）
则AD/AX=AB/AD，
在ΔADX与ΔABD中，
因为∠BAD＝∠DAX，
所以ΔADX∽ΔABD，
所以∠ADX＝∠B，
因为AB=AC，
所以∠B＝∠C，
所以∠ADX＝∠C，
因为∠BDA＝∠C ∠CAD，
即∠BDX ∠ADX＝∠C ∠CAD，
所以∠BDX＝∠CAD，
所以ΔDBX∽ΔACD，
所以BD/AC=BX/CD，
所以BD·DC=BX·AC……………（2）
（1） （2），得
AD^2 BD·DC =AX·AB BX·AB
=（AX BX）·AB＝AB·AB= AB^2．
所以AB^2=AD^2 BD·DC．
例4（2013年全国初中数学联赛题）如图4，圆内接四边形ABCD中，CB＝CD．
求证：CA^2－CB^2＝AB·AD．
证明：把求证式改为
CA^2=CB^2 AB·AD．
在CA上取点X，使
CB^2＝CX·CA………（1）
连接BX．则在ΔCBX与ΔCAB中，
CB/CX=CA/CB，
因为∠BCX＝∠ACB，
所以ΔCBX∽ΔCAB，
所以∠CXB＝∠CBA，
因为四边形ABCD内接于圆，
所以∠CBA ∠D＝180°，
所以∠CXB ∠D＝180°，
因为∠AXB ∠CXB＝180°，
所以∠AXB＝∠D，
因为CB=CD，
所以∠XAB=∠DAC，
所以ΔABX∽ΔACD，
所以AB/AC=AX/AD，
所以AB·AD =AX·CA………………（2）
（1） （2），得
CB^2 AB·AD＝CX·CA AX·CA
＝CA(CX AX)=CA·CA= CB^2，
所以CA^2－CB^2＝AB·AD．
例5 如图5，AD为△ABC的角平分线，
求证：AD^2＝AB·AC－BD·DC．
证明：把求证式化为：
AD^2＋BD·DC＝AB·AC．
在AB上取点X，使
AD^2=AX·AC…………（1）
连接DX，则在△ADX与△ACD中，
AD/AC=AX/AD，
因为AD为△ABC的角平分线，
所以∠DAX＝∠DAC，
所以ΔADX∽ΔACD，
所以∠AXD=∠ADC，∠ADX＝∠C，
因为∠BXD ∠AXD=180°，
所以∠BXD ∠ADC=180°
所以sin∠BXD=sin∠ADC；
因为∠BDA=∠C ∠CAD，
即∠BDX ∠ADX=∠C ∠CAD，
所以∠BDX=∠CAD，
所以sin∠BDX=sin∠CAD．
在△BDX与△ACD中，分别由正弦定理，得：
BD/BX=sin∠BXD/sin∠ADC，
AC/DC= sin∠BDX/sin∠CAD，
所以BD/BX=AC/DC，
所以BD·DC=BX·AC………………（2）
（1） （2），得
AD^2 BD·DC= AX·AC BX·AC
=（AX BX）·AC
＝AB·AC，
所以AD^2＝AB·AC－BD·DC．
从以上各例的证明来看，这种设未知点法的思路与运用过程可用口诀归纳为如下口诀：
取点得到等积式，化为比例证相似，相似推出角相等，再把相似比例证，化等积再相加，整理即把结论证。
