一、什么是对数?
“对数”,是一个让很多人感到莫名其妙的一个词。
没错,就是“莫-名-其-妙”,因为确实没搞不清楚“取对数”操作的妙处。
我们现在用一种简单计算的方式,来解释“取对数”到底是一种什么操作,这种操作之后得到的值又和指数什么关系!
我们知道:
2的平方是4,
2的三次方是8,
2的四次方是16
这里2是底数,2、3、4是指数。
现在我们把问题反过来问:
4是2的几次方?
8是2的几次方?
16是2的几次方?
这三个问题,大家都能很快地给出正确答案。
因为我们发现,这只需要把第一次的求幂的运算反过来算一次,求指数就行了。
对,就是逆运算。
好,如果我现在就告诉你,你刚才把幂运算反过来求指数的运算方式就是对“4,8,16”的“取对数”操作。
你还会对“对数”这个词感到莫名其妙吗?
那这种逆运算怎么表示呢?求幂的数学表达式有了,就是一个底数蹲在地上,右肩膀上扛着一个指数。
那么“取对数”的运算我们也必须给它一个表达式:
对,就是在蹲在地上的底数前面加一个“log”,把幂的值放在这个符号的后面就可以。
写成一般式就是这样:
也就是说,“取对数”的运算实际就是在已知底数和幂的值的情况之下,反过来求指数的运算。
用数学抽象一下,就是对数的定义,如下:
这里面的大N称为真数。
看到没?通过取对数运算求出来的指数就称为对数。
也就是说,指数和对数原本就是同一个值。只不过“指数”是泛指,可以不是确定的值;
但对数不同,它是一个确定的值,是通过确定的底数和确定的幂值,然后反运算得到的指数。
所以,还会感到莫名其妙吗?
从历史发展的角度来看,对数的出现是早于指数的,我们把这个名词翻译成“对数”,估计也是因为对特定的底数和幂,总有一个对应的指数值存在的意思。
好,既然幂运算是对数运算的逆运算,那就有: