图片来源：视觉中国
一切都是那么的直观，历史在平静地流淌。直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积！这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。这只被放逐出来的怪兽，正式奏响了分形几何研究的序曲。
皮亚诺曲线（图片来源：Wikipedia）
维度概念的扩展，则得益于德国数学家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了维度的新定义。该定义为人们成功驱散了笼罩在分形曲线身上的迷雾奠定了基础。
在传统的观念下，一个空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。比如我们生活的空间之所以是三维空间，源自我们需要三个数值：经度、纬度和高度来确定物体在空间中的位置。这样的定义无比符合人们的直观，也因此在数千年间都被奉为圭臬。但是这种定义维度的方式，排除了分数维的可能。
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豪斯多夫另辟蹊径，从物体的自相似性来定义维度。自相似性，顾名思义，就是“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的”。比如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成。一个立方体，则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成。
简而言之，如果一个图形按照N∶1的比例缩小后。如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d，就是豪斯多夫维数，定义为 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定义下，皮亚诺的曲线恰好就是二维！因此它能填满正方形并不奇怪。
皮亚诺曲线就是一条自相似的曲线。它身上揭示了分形的诸多特征：具有自相似性、具有无穷多的层次和细节，可以被无限放大、永远都有结构，最令人惊异的是，它还可以是分数维。比如著名的科赫雪花曲线就是1.26维，谢尔宾斯基三角形则是1.58维。
雪花的分形（图片来源：网络）
皮亚诺曲线发现后的83年，曼德勃罗首次提出了分形几何的概念。他在一次公开演讲中提出了一个看起来让众人乏味的问题：英国海岸线究竟有多长？
人们会轻描淡写地回答：只要用仪器去测量就行啊，只要测量得足够精确，总能得到想要的结果。然而，出乎所有人的意料，如果用不同大小的度量标准来测量海岸线的长度，每次竟然会得出完全不同的结果。当度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越来越长！随着测量精确的提高，英国海岸线的长度也在迅速趋于无穷！多年以后，科学家们才发现，英国海岸线是一个复杂的分形曲线。根据多次测量所得的结果，英国海岸线的分形维数大约等于1.25。
