三角形三边关系如何才能出现钝角,判定钝角三角形的方法

首页 > 教育培训 > 作者:YD1662023-06-06 07:44:51

三角形三边关系如何才能出现钝角,判定钝角三角形的方法(1)

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北师大版《数学》九上P187有一道习题:任意说出3个正数,以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗?一定能围成一个钝角三角形吗?请设计一个试验估计围成一个钝角三角形的概率.一.以任意3个正数a<b<c为边长,围成钝角三角形的条件是什么?

3个正数为边长围成三角形的条件:a+b>c,这是大家都知道的,但是要围成钝角三角形则啊a,b,c满足什么条件呢?让我们先回顾围成直角三角形的条件:a^2+b^2=c^2,此时,c边所对的角最大且为直角。

显然当a^2+b^2≠c^2时,c边所对的角最大,但非直角!

追问一句,此时,不是直角是什么角?

——锐角或钝角。

——好的!从角的分类来说只有三种情况:锐角、直角、钝角。排除一种(直角),当然还有两种可能。那么a^2+b^2与c^2其值的也有三种情况:小于、等于、大于。排除一种(相等),势必也有两种可能:小于或大于。

自然联想到它们之间的达成某种默契

三角形三边关系如何才能出现钝角,判定钝角三角形的方法(2)

三角形三边关系如何才能出现钝角,判定钝角三角形的方法(3)

结论

以任意三个正数0<a<b<c为边长,围成钝角三角形的条件:a+b>c,a^2+b^2<c^2.

二.换一个角度再解读围成钝角三角形的条件:a+b>c,a^2+b^2<c^2.

弄清楚围成钝角三角形的条件后,我们是不是迫不及待地进行试验啦?

当然是可以的,不过可以预见试验的效度、信度肯定不高。没有更好的办法呢?让我们继续探究下去,或许可以找到更好的办法。

围成钝角三角形的条件:a+b>c,a^2+b^2<c^2.

将这两个不等式进一步变形(右边都变成“1”)得

a/c+b/c>1,(a/c)^2+(a/c)^2<1

设x= a/c,y= b/c,则有x+y>1,x^2+y ^2<1,其中0<x<1,0<y<1.

让我们从函数的角度,再来解读围成钝角三角形的条件:

x+y>1的含义:x+y=1表示直线y=-x+1上所有点,若x+y≠1,则表示直线外的所有点,这个描述显然还不够“精细”,自然想到x+y≠1,意味着x+y<1或x+y>1,其含义必然对应着直线的下方与下方(的所有点组成的区域).

类比联想

x^2+y ^2<1,x^2+y ^2=1(圆心在坐标原点,半径为1的圆),x^2+y ^2>1,也有类似的含义(见下表).

三角形三边关系如何才能出现钝角,判定钝角三角形的方法(4)

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