作者 | A. Weil
来源|《物不知数》
原文：Weil, Two Lectures on number theory, past and present，收录于Weil全集的[1974a].
本译文原载于《数学译林》试刊（1981）83-90，及（1984）72-78，由王启明先生译出，张耀成先生校对. 对部分术语与表达已按目前较为通行的用法略作修改. 未加特别说明的人物肖像均取自Wikipedia。
（p.s. 从Weil对解析数论与概率论的观念中也许能感觉到，像他这样伟大的数学家也有不可避免的局限性.）
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为纪念已故的J. F. Ritt教授, 其遗孀捐献了一笔基金开创了Ritt讲座. 在哥伦比亚大学数学系的倡导下, 这个讲座在哥伦比亚大学举行. 1972年3月我所做的下列两个演讲就是此讲座的一部分. 读者将会看到, 它们实际上是“报告”而不是正式的演讲, 我并不想修改它那有点浪漫的格调. 这里刊出的是根据录音稍加整理而成的稿子. 我只在第二讲中添加了一点东西. 当时由于时间的关系, 内容不得不进行压缩. 我要感谢Clemens教授及其在哥伦比亚大学的同事们, 他们组织这次演讲, 录了音而且打印了记录。
第一讲我希望你们一看到这个演讲题目, 就立即意识到, 两讲是根本不能概括它的. 乐观点说, 一个全面的概述也许需要两门历时各一年的课程. 因此, 我的题目不应使人产生错觉, 因为显然没有人能在两次演讲中对这个题目谈得面面俱到. 我要讲的中心思想是过去300年数论的连续性, 以及这样一个事实：今天我们所做的不外乎是17世纪Fermat开创数论之后一些最伟大的数学家的工作的直接继续。
(Fermat, 1601-1665)
那个时代的数学家, 特别是数论学家, 是很舒服的, 因为他们面临的竞争是如此之少. 但对微积分而言, 即使在Fermat时代, 情形也有所不同, 因为今天使我们许多人受到干扰的东西（例如优先权的问题）也困扰过当时的数学家. 然而有趣的是, Fermat在整个17世纪期间, 在数论方面可以说一直是十分孤独的, Euler在下一世纪大部分时间（即在Lagrange加入之前）也是如此. 后来来了个Legendre, 然后又出了个Gauss, 但Gauss已经是19世纪的人了, 所以应该属于近代的范畴. 值得注意的是, 在这样一个长时间段中, 事物的发展是如此缓慢而从容, 人们有充分的时间去考虑大问题而不必担心他的同伴可能捷足先登. 在那个时候, 人们可以在极其和平宁静的气氛中研究数论, 而且说实在的, 也过于宁静了. Euler和Fermat都抱怨过他们在这个领域中太孤单了. 我再说一次, 这与微积分的情况非常不同, Fermat对此也有决定性的贡献. 在数论中, Fermat是孤单的, 这也是他没有将他的成果及时写出来的原因之一. 有一段时间他试图吸引Pascal对数论产生兴趣并一起合作, 但是Pascal不是搞数论的料, 当时身体又不好, 后来他对宗教的兴趣超过了数学, 所以Fermat没有把他的东西好好写出来, 从而只好留给了Euler这样的人来破译。
(Euler, 1707-1783)
(Gauss, 1777-1855)
在往下讲之前, 也许我应该为数论是什么讲几句话. 英国诗人Housman有一次收到一个文学杂志发出的一封愚蠢的调查信, 信中要求他为诗歌下个定义. 他的回答是, “如果你叫一只狐狸去定义什么是老鼠, 它也许不会. 但是他一旦闻到老鼠的味道, 它能知道这是老鼠. ”当我闻到数论时, 我想我是知道的, 而当我闻到别的东西时, 我想我也能辨别. 例如, 数学中有一个学科(这是一个非常好的、完全正宗的学科)被不恰当地称作解析数论. 从某种意义上说, 它是Riemann开创的, 而Riemann本人根本不是数论学家；后来Hadamard等人, 再其次是Hardy把它发扬光大, 这些人也都不是数论学家(我与Hadamard很熟)：在我看来, 解析数论不是数论, 而是分析. 说它是分析(即处理常常出现像“素数”这种数论名词的特殊问题的分析)是因为它主要跟不等式和渐近估计打交道；在我看来, 这正好把它与数论区分开来. 我把它归到分析的门下, 正如概率论只是积分论的一个分支, 只不过有自己的一套术语罢了. 我想举出一个典型的例子来说明数论学家与分析学家(例如Hardy)之间的深刻差别. Hardy在他写的关于Ramanujan的著名著作中必然要讲到函数(即模函数理论中的判别式)的“Ramanujan猜想”, 后面我们还要再次提到这个猜想, 现在只要知道这是一个从椭圆函数理论中产生的特殊函数就可以了. 把函数展成幂级数:
然后以同样的系数写出Dirichlet级数
Ramanujan声称, 后者有个“Euler乘积”, 其中取遍所有素数, 而
他还猜测, 对每一个, 二次方程的根的模长等于(这显然等价于说. 第一个断言在Ramanujan去世后不久就被Mordell证明了, 而关于的猜想虽然取得一些进展, 但仍然是一个远远没有解决的问题. 我所知道的数论学家中, 如果谁能有幸证明这一猜想, 他一定会感到非常荣幸和骄傲的. 但是Hardy又引人注目地说, “似乎我们漂进了数学中的一潭死水了”. 在他看来, 这只不过是一个不等式：他很奇怪有人对此不等式抱有这样大的兴趣. 事实上, 他带点歉意地解释说, 虽然这个问题看起来没有什么意思, 也许它还是有吸引Ramanujan注意的地方。
这个故事可以用来说明数论学家与其他数学家的口味的本质差别. 令人印象深刻的是, 所有那些搞过数论的人在提起数论时都有一种激情. 你会在Euler的著作中读到很多这种富有热情的话. Gauss的著作中也有, 而Hilbert的数论报告的前言中则更多. Eisenstein曾写过一本书总结他对数论和椭圆函数论的贡献. Gauss为这本书写了序, 我们前面已经看到这两个学科关系非常密切. Gauss写道：“这些领域特别的美吸引了每一个活跃在这方面的人，但是没有谁比Euler流露得更多. 他的每一篇数论论文总是要反复提到他从事这项研究的乐趣以及与实际应用关系较密切的课题给数论带来的可喜变化”, 他引用了Euler收到Lagrange关于椭圆函数(Gauss显然对这两个学科不加区别)的一篇论文时所说的话来说明Euler的这种激情：Euler写道, “当我听到Lagrange改进了我的工作, 我的钦佩是无限的. ”
