(Abel, 1802-1829)
（待续）
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“Hilbert第12问题提醒我们以下三个主题之间的血缘关系, 尽管这个提醒应该是多余的. 一是类域论或者数域的Abel扩张理论, 这在本世纪初便达到了近乎完成的形式. 二是椭圆曲线或者更广泛的Abel簇的代数理论, 五十年来一直是一个恢宏茁壮的研究方向. 第三则是自守函数理论, 它成熟较慢, 而且仍紧密交缠于Abel簇的研究, 特别是其模空间的研究. 三者后来经历的发展经常是分离的。
“当然, 这些主题在Hilbert的时代才刚从数学全景中分化为个别的理论, 而在Kronecker的时代, 它们仅仅是椭圆模函数与分圆域理论的附庸. 青年之梦(Jugendtraum)一词见于Kronecker 在1880年写给Dedekind的一封信, 其中阐述了他联系虚二次 域的Abel扩张和带复乘椭圆曲线的工作. 由于这些主题交织得如此紧密, 在当时要区隔青年之梦涉及的种种数学几无可能, 尤其是要区隔其中的代数面向和分析或数论面向. 或因如此, Hilbert才会将历史进程中的一个偶然, 兴许也是个必然, 误作是“最紧密的交互联系” (innigste gegenseitige Berührung). 俏若我们试着采取一位老于世故的当代数学家的视角, 来观照青年之梦的数学内容, 对此或能有更允当的判断。
------------Langlands，源于青年之梦的若干当代问题
“The theory of complex multiplication of elliptic modular functions, which brings together number theory and analysis, was not only the most beautiful part of mathematics but also of all science."
”椭圆模函数的复乘理论将数论与解析联系在一起，它不仅是数学中，也是整个科学中最为优美动人的部分。”
------------Hilbert
参见
关于Weil在第一讲中提及的数学的具体内容，也许可以参考
