(Lagrange, 1736-1813)
作为他的工作的一个例子, 我在这里为你写下一个可以在Euler那里找到的一个公式:
它包含在Euler 1749年在柏林科学院宣读的一篇论文中, 但这篇论文直到1768年才印出来;论文(是用法文写的)的标题是Remarques sur un beau rapport entre les séries de puissances tant directes que réciproques. 我希望你们许多人已经看出来, 这正是-函数的函数方程. 在左边, 形式上是, 只是Euler写成交错项使得这个级数较易处理, 将乘以, 乘以就可以得到它, 右边是Euler发现的函数. Euler对每个正整数证明了这一公式(用所谓的Abel求和法使得左边分子中的发散级数有意义), 并推测该公式对所有的复数都成立。
这只是Euler在这个领域中的发现的一个例子. 他是以师从Bernoulli兄弟开始他的数学生涯的, Bernoulli兄弟无疑是分析学家而不是数论学家. 可以肯定的是, Euler的血液中已经有了它的成分, 但幸运的是, 在他还年轻时(不到20岁)就离开巴塞尔去了圣彼得堡, 因为别处似乎找不到工作. 圣彼得堡刚刚由彼得大帝建立起来. 彼得大帝成立科学院的计划留待他的遗雷来完成. Bernoulli兄弟中年少者Nicolas和Daniel已经到了那里：Nicolas到达不久后就去世了. Euler接到聘书后乘船沿菜茵河下到美因茨, 然后主要靠步行到了卢贝克, 接着乘船前往圣彼得堡, 当时圣彼得堡比一个繁华的村庄大不了多少;一切都还是相当混乱的. Euler很快就有了优厚的薪俸和一个方便的工作环境. 幸运的是, 这里有个叫Goldbach的德国人, 他的名字现在只是由于Goldbach猜想（每个偶数是两个素数之和)才为人所知. 他是个业余数学爱好者, 对数学以及其他许多东西, 比如语言学, 都很有兴趣. 早先他在意大利认识了Nicolas Bernoulli, 然后在俄国定居下来. Bernoulli兄弟以及稍后的Euler来到俄国, 都是他努力的结果. 科学院非正式地雇佣他担任秘书, 他基本上居住在莫斯科. 我们保存有他与Euler和Bernoulli兄弟的通信. Goldbach很喜欢在业余搞搞数论, 显然这些信都推动了Euler在数论中的一系列发现. Euler在发布这些结果之前总是先写信告诉Goldbach。
应该指出, Euler刚开始研究数论时, 除了Fermat那些神秘的命题外, 什么东西也没有. Fermat经常声称“我证明了这个”、“我证明了那个”. 对于Fermat方程
(后面还要详细讨论此方程)他似乎也是这样说. 除了此方程无(非平凡)解的断言, 在Fermat的诸多命题中有一个是说, 形如的素数可以写成, 还有一些命题论述了可以写成和的素数应满足的条件. 有一个命题说, 每个正整数可以写成四个平方数之和. 这些命题迷住了Euler：但是他首先必须自己动手建立数论中一些最基本的定理. 例如, Fermat“小定理”：若是素数, 则(用近代记号) , 对所有不被的整除的都成立. 在那个时代研究Fermat的著作的人看来, 每个命题都是同样的神秘, 虽然容易对很大数值范围内的所有整数验证其中许多命题的正确性. Euler不得不白手起家, 做出一些在今天的教科书中都有的东西. 这些东西在今天从群或素理想两个观点去看是非常简单的. 但他还是花了一些时间在这方面. 一开始, 他不知道与互素的整数是一个群;当然他没有群的概念, 逆元的存在性当初也不是显然的. 还有些事实在今天看来是很初等的. 例如, 给定一个域(例如, 模一个素数的有限域), 任何一个代数方程的根的数目不超过方程的次数, 这个事实直到1760年才由Euler和Lagrange证明, 这是Euler开始研究数论将近30年以后的事情了, 此时他正在更加困难的问题上工作. 他不知道问题的难与易. 例如, 在他看来, 素数是平方和这一事实与模有限域上五次方程至多有五个根这一事实同样地困难. 事实上, 他甚至认为前者更容易, 因为它只涉及平方, 而后者有五次方；Euler仿效Diophantus和Fermat把次数作为问题分类的第一个因素;当然, 他猜测还存在其他因素, 但不能肯定。
前面谈到, Euler不得不白手起家. 他与Goldbach的通信, 记录了他的想法是如何酝酿的, 记录了他是怎样一个接着一个地解决问题的, 读起来引人入胜. 他解决了某个问题, 但是需要假定另一些东西. 有时他说：“如果我能证明这个, 那么那个也可以证明. ”Goldbach总要加些评语. 虽然Goldbach似乎并没有贡献什么, 但他一直兴趣盎然, 他这个通信对象在许多年中对Euler都是很宝贵的. 后来Lagrange出来了, 并开始与Euler通信：当然, 他是一个第一流的数学家, Euler从一开始就意识到这一点。
Euler在纯粹数论方面做了很多年. 他的起点是Fermat的工作. 这个主要课题是, 把整数特别是素数, 写成平方和. 比方说Fermat的命题：每个形如的素数是两个平方数之和:. Euler在1749年写给Goldbach的信中证明了这一命题；他写道, “我终于给出了正确的、完整的证明. ” 这个证明很有意思；我来讲一下这个证明并指出它与现在流行的证明的共同点与不同点. 但我的时间这样少, 我只想局限在下列情形：
我们讲这个例子是因为它在某种意义上更能说明问题. Diophantus已经知道下列恒等式
这个等式保证了两个平方和的乘积还是平方和. 这个恒等式来自(大家都知道)
因此这个乘积是两个复数的乘积的模的平方. 同样地, 对也有一个类似的恒等式, 只要注意到是的模的平方. Euler最终意识到这一点而且经常用它, Lagrange也经常用它. 有一次, Euler特意称赞Lagrange在当时大多数人还认为无理数和虚数完全多余的时候就在他的数论研究中很好地用上了它们. 这表明, 代数数域的理论可以追溯到相当远；事实上, 人们自然地会猜测, Fermat是否已用过这类事实. 然而, 据我所知, 在他的著作中目前还没有发现这种迹象。
讲到这里, 我们是时候来讨论Fermat当时是否真像他自己所说的那样证明了“Fermat定理”这一问题了：这决不是一个无聊的问题, 虽然我们不能肯定任何答案. 这个断言是他写在Diophantus的书的页端上的注记：那本书已经找不到了. 但他写在书上的话在他去世以后由他的儿子发表了：这件事做得很明智, 因为Fermat显然是为了写一部数论的系统著作做准备而写下这些注记的, 但是这部书他一直没有写. 注记一开始就说, 一个立方数不可能是两个立方数之和, 一个四肷方不可能是两个四次方之和, 他还说, 这件事对于所有大于2的方幂都成立. 他写道, “我有一个奇妙的证明, 但是这页端太小”. 四次方的情形他给出过证明;事实上, 他在关于Diophantus的注记中证明了方程
无解, 这显然包含了方程的情形. 我推测(基于我们对他的工作的了解)他对方程也有完整的证明. 这一证明很可能与Euler经过多年努力重新发现的详细证明相同. 有趣的是, Euler关于此方程无解的证明是建立在下述假定上的. 用近代的语言来说, 这个假定相当于说域(三次单位根的域)只有一个理想类. 后来, 他证明了这个假定. 从Fermat写下的东西可以相当清楚地看出, 他已经知道与类数是1这一事实等价的事实. 如果对次单位根你也作出类似的假定, 那么就不难证明次幂的Fermat定理；当然, 我们知道这个假定一般是不成立的. 因此, 我们可以设想, Fermat曾经有一个建立在这一假定（或某个与之等价的假定）上的证明, 但而后又意识到这个假定并非对所有的都成立. 事实上, 在他与外国数学家的通信中, Fermat从未提到过一般的次Fermat方程：他反复提到立方的方程. 他甚至不大可能认真地考虑过五次方程, 不只是因为它的困难性, 而且也由于一个我马上就要讲的原因, 这与Fermat所属的数学家的气质有关。
许多人认为数学家与物理学家的重大区别之一是：在物理学中有理论物理学家与实验物理学家之分, 而在数学家中不存在这种区分. 这一点儿也不对. 就像在物理学中一样, 在数学中也有这种区分, 虽然界限不是很分明. 在物理学中, 理论家认为实验家就是为他们的各种理论找证据的, 实验家也反过来认为理论家的事情就是为他们提供良好的实验课题. 在数学中做实验就是与特定的例子(有时是数值的)打交道. 例如, 一个实验也许对1000或者1000亿以内的整数验证诸如Goldbach猜想这样的一个命题. 换言之, 一个实验就是严格地处理一些特例, 直到可以认为对一般的命题已经取得了良好的证据为止. 做实验有很多方法, 有些方法用到的理论知识一点儿也不少；例如, 现在有人对很感兴趣. 他们先用做实验（在许多问题中也已经是不容易的了）, 然后对实验(这已十分困难). 然而, 一个第一流的数学家必须在两方面都强才行, 但是还是有气质上的的差别. Fermat显然是理论家. 他感兴趣的是一般的方法和原理而不是某个特殊的情形, 这反映在他所有的工作中, 不论是分析还是数论. 反之, Euler则基本上是一个实验家. 当他猜想到一个一般定律时, 他会很高兴, 他愿意花大量的时间去证明它. 但是, 如果找不到证明, 而只得到一些令人信服的实验证据, 他几乎也会感到同样的欣慰. 因此, 他的研究工作有着朝各种可能的方向蔓延的趋势. Fermat是理论家, 他总是谈论“我的方法”, 因此清晰地表明了他的数论兴趣的范围. 从本质上看, 他感兴趣的是二次型(主要是二元的), 即后来Gauss所大大发展了的观点下的二次数域的理论, 他感兴趣的另一个方面则是Diophantus方程, 但总是限于亏格为1的情形. 当Fermat谈到“我的方法”时, 这通常指处理现在称为椭圆曲线这一类问题的方法, 方程和定义了这种曲线, 但不是, 因此超出了Fermat通常工作的范围. 这是椭圆曲线与数论的关系的首次呈现, 而且是很自然地出现的. 一些最有意思的方程是兮格为1的. 当然, 只有在进行积分以后才会产生椭圆函数, 在Euler和Fermat眼中, 微积分与数论的公式之间似乎有一道鸿沟, 而从我们今天的观点来看, 这道沟已经不复存在了：我们现在知道如何架这个桥. 值得注意的是, Euler对纯粹数论产生了很大兴趣, 特别是对证明Fermat定理, 这一问题包括了特别困难的兮格为1的方程, 他还从另外两个观点对此发生兴趣. 其中之一与方程密切相关. 似乎Leibniz已经猜到到积分
不能用初等函数(包括指数函数和三角函数)表示. 但是, Fagnano令人意外地发现了微分方程
具有有理函数解. 这震惊了Euler. 据Jacobi讲, 椭圆函数的生日应该是1750年Fagnano的数学论文集送交柏林科学院请Euler审查的那一天. 虽然这个论文集事前已经刊出, 但是作为柏林科学院的一个最有名的院士, Euler还是要对是否正式批准这部著作表态. 他看到这个集子以后立刻像着了魔似的, 并紧接着写出一系列论文. 正是在这个关头, Lagrange改进了Euler的工作, 尔后Euler又改进了Lagrange的工作, 这些我们前面已经提到. Euler写下:
其中是一个四次多项式. 他发现, 四次的情况有一些特殊的性质, 从而有可能求解出这类方程的代数积分, 而且(他稍后注意到)对方程
(其中为任意的整数)也是如此. 从我们现在的观点来看, 这些都可以归结为椭圆函数的加法与乘法。
