(Jacobi, 1804-1851)
Euler对这些东西的兴趣非常之大, Lagrange也是如此, 但是并没有怎么想到与数论可能的联系, 倘若Euler当初从这一观点研究过Fermat关于方程的无解性的证明, 他会发现, 这个证明包含了这个椭圆函数复乘的公式. 你只要把Fermat的公式放到一起就看出来了. 如果你重复这一过程, 就得到加倍。
Fermat的做法是这样的. 首先, 有一个简单的公式给出的复乘, 这就把你送到同一条曲线上, 但是关于有理数域则是另一条曲线了. 再用替换重复这个过程, 就把你带回到原来的曲线. 从某种意义上说, 他得出了原来曲线上的初始点的加倍公式. 而且, 因为这个曲线的特殊性质, 这个程序也可以反过来. 从曲线上一个给定的点出发(假定有一个有理点), 你可以用除它, 再用除, 也就是把它除以2;这在曲线上给出了一个坐标更小的点, 这就是“无穷递降”法, 这会导致矛盾, 因为一列无穷多的正整数不可能总是递减. 这就是Fermat的证明. 如果Euler(或Fagnano)想到这么看问题, 他们早就可以从Fermat的数论工作中认出他们的公式了. 现在再来看看Euler的工作的其他方面, 其中有些也与椭圆函数有关. 有一个课题是Euler的前人从没有考虑过的:他一生都喜欢摆弄级数, 对它们进行形式的运算. 显然这起源于Leibniz级数
Euler对这类东西很有兴趣, 并且后来自己也做出一个, 这个发现理所当然地使他自豪, 而且这在当时也相当轰动:
他是在1736年发现这个公式的：他立即告诉了已回到瑞士的朋友Daniel Bernoulli, 后者为之深深打动. Euler很快又解决了所有偶数次幂的情形:
但是, 对于奇数次幂, Euler始终不能成功, 其原因令Euler困惑不解. 这样, 他就与现在称为-函数的东西混熟了. 他注意到, 这个级数可以写成无穷乘积
现在这叫做Euler乘积. 然后他就玩起无穷级数与无穷乘积. 顺便提一句, 他注意到, 这可以给出素数的无限性的另一个证明, 而且同样的想法可以非常初等地证明在两个算术级数和中都存在无限多个素数。
在摆弄无穷级数和无穷乘积时, 他发现了一些在他看来是孤立和非常惊人的事实. 他考虑无穷乘积
并且形式地将它展开. 他有许多这种级数和乘积;有时他得到一些显示确定规律的结果, 有时得到的则是杂乱无章的东西. 在上面这个级数的情形, 他是很成功的, 他计算了至少15项或20项, 公式的前几项写出来是:
这里的规律对没有受过训练的人来说可能不是一眼就能看出来的. 用近代记号, 这就是
我把替换为, 是因为自从Jacobi以后, 在椭圆函数论中已经是标准的记号了. 各项的幂次构成一个性质简单的级数. Euler写出20项左右时立刻看出其中的规律. 很可能他算过100项：他很有理由地说, “这是十分有把握的, 虽然我不能证明”：十年后他的确也证明出来了. 他不会想到这个级数与乘积是椭圆模函数理论的一部分. 这是数论与椭圆函数的联系的又一个例证. 他还有一个很有意思的命题. 这也是(我们大家现在都已知道)与椭圆函数有关. 他说, 证明整数表为平方和的这类定理的最自然的方法当然应该是计算下列级数的方幂:
例如, 证明Fermat关于每个正整数是四个平方数的和的最自然的办法是给出此级数的四次方的一个公式. 而这又是一个椭圆函数的问题, 这也就是Jacobi在Lagrange的纯算术证明(Euler本人很快就改进了Lagrange的证明)之后很久所给出的证明。
因此, 我们看到, 数论不可避免地要引出椭圆函数论, 并且反之亦然:回顾历史, 这早在Fermat的研究中已经很明显了, 而Euler的工作更加证明了这一点. Gauss的早期研究(他没有发表)以及后来Jacobi与Abel多少是同时的关于椭圆函数的著名工作, 使得这两门学科汇合在一起. 这是一个必然的发展, 并且从许多实质性方面来说, 也造成了我们今天的现状, 因为我们今天所要做的就是发展这许多方向, 把它们向前推进, 但是时刻铭记着它们之间的关系.
