三次方程根式解法发现者之一——塔塔利亚
三次，四次方程根式解法有着落了，自然而然地人们就开始期待一般五次方程的根式解了。然而这条路就比前面的解法探寻之路要艰难的多，第一个做出成果的拉格朗日，这位大神的名字对于很多人来说几乎都是惊悚的。
拉格朗日系统地总结了前人关于三次，四次方程根式解的研究成果。他发现了，三次方程下总是对应着特定的辅助方程，这个方程只有二次，四次方程下就对应着一个三次的辅助方程。拉格朗日把辅助方程的解称作原方程根的预解函数。很明显对于求解某个方程来说，能够得到预解函数至关重要，只要有了预解函数就可以把原来的方程层层降次，最终得到了一个显而易见求出解的简单方程。
拉格朗日
拉格朗日准备大干特干，将这套辅助方程的理论放在五次方程的根式求解上，然而他失败了。用预解函数的理论来攻克五次方程时，居然得到了一个六次的辅助方程，根本就不是预料中的四次，于是之前那套可以层层降次的法子不管用了，原来解方程不是这么简单。后来拉格朗日对五次方程做了大量的研究，最终也没有找到五次方程的根式解。然而拉格朗日仍然固执地认为，五次方程根式解是存在的，只是找到它需要用更加高深的技巧，自己能力尚且达不到。他却并没有从另外一个角度来考虑，其实五次方程时没有根式解的答案上来。
到了拉格朗日这里，其实对于五次方程根式解的研究仍然处在朦胧的探索当中，人们当时仍然被两大问题困扰：
第一，任意n次方程是否都有至少一个解？第二，n次方程如果有解，那么到底有多少个解？
这个时候，高斯大神开始出手，他在1799年，1800年解决了这两个问题。人们意识到，任意n次方程都会存在n个解，当时复数根的思想已经确立，因此不存在判别式的问题。然而高斯自己同样没有得到五次方程的根式解，这个时候高斯已经在考虑是否五次方程根式解压根就不存在，然而，高斯本人却乐观认为要证明这个结论似乎并不是那么困难。
高斯大神
高斯似乎给了五次方程根式解的研究指明了方向。然而最先沿着这个方向取得重要成就的却是一位非常有毅力的“民科”——意大利内科大夫鲁菲尼。
摩德纳大学——鲁菲尼曾任该大学校长
1800年，鲁菲尼大夫写出了一篇长达500页的论文，论文中第一次系统阐述了，五次及以上方程没有根式解的观点。面对这篇冗长的“民科杰作”，正统的数学家也懒得去检查，他们根本不相信这个业余数学爱好者能够解决困扰他们几十年的重大问题。于是稿子是寄出去了，当然是杳无音信。
