I=A B C-A∩B-B∩C-A∩C A∩B∩C 非A非B且非C
三集合标准型公式：A B C-A ∩ B-A ∩ C-B ∩ C A ∩ B ∩ C= 总数－都不满足
三集合非标准型公式：A B C －满足两项－ 2× 满足三项 = 总数－都不满足
解题步骤分三步走：①画文氏图；②弄清楚图形中没一部分所代表的含义；③代入公式（A B C-A ∩ B-A ∩ C-B ∩ C A ∩ B ∩ C）进行求解
（三）容斥极值
公式：(A ∩ B)min=A B-1
推广：(A ∩ B ∩ C)min=A B C-21
随笔练习
1. 某公司组织歌舞比赛，共 68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有 12 人，参加歌唱比赛的有 18 人，45 人什么比赛都没有参加。问同时参加歌舞比赛的有多少人？ （ ）
A.7
B.8
C.9
D.10
※【答案】A。解析：总人数 = 参加舞蹈比赛人数 参加歌唱比赛人数 - 两项比赛都参加人数 两项比赛都未参加人数。所以两项比赛都参加的人数为 12 18-（68-45）=7 人。
2. 某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有 8 种产品的低温柔度不合格，10 种产品的可溶物含量不达标，9 种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有 7 种，有 1 种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？ （ ）
A.34
B.35
C.36
D.37
※【答案】A。解析：在将低温柔度不合格、可溶物含量不达标、接缝剪切性能不合格的产品数相加时，两项同时不合格的产品数被计算了两次，需减掉一次；三项同时不合格的产品数被计算了三次，需减掉两次。设三项全合格的建筑防水卷材产品有 x 种，根据容斥原理可得，8 10 9-7-2×1 x=52，解得 x=34。
3. 阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？（ ）
A.5
B.10
C.15
D.30
※【答案】A。解析：本题出现了三个概念，分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅，概念间存在交叉关系。根据三个集合交集最小值的公式，三人都借阅的至少有 75 70 60-2×100=5 本。
▲计算问题
（一）等差数列
1. 基础知识
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。例如：1，3，5，7，9……。数列的第一项叫做首项 a1 表示，数列的最后一项叫做末项用 an 表示。
相邻两项的差值叫做共差 d 表示。前项和用 Sn 表示。
2. 基本公式
（1）通项公式
（2）求和公式
（二）周期循环
解题关键：寻找最小循环周期。
（1）找周期：找准周期的起点和终点，确定总数
（2）算余数：总数 ÷ 每个周期的个数 = 周期数量……余数（n）
（3）做等价：余数 n 就等价于该周期的第 n 项（余几数几）
（三）整除
1. 核心
通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项
2. 应用环境
题干文字描述中出现“整除、每、平均、倍数”等字眼时能用利用整除解题题干中出现分数、百分数、比例等数据时能够利用整除解题
随笔练习
1. 某剧院共 25 排座位，后一排均比前一排多 2 个座位，已知最后一排有 80 个座位，问这个剧院一共有多少个座位？（ ）
A.1200
B.1300
C.1400
D.1500
2. 书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书、3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（ ）
A. 小说
B. 教材
C. 工具书
D. 科技书
※【答案】A。解析：一个完整的循环是“3 本小说 4 本教材 5 本工具书 7 本科技书”共 19 本书，所以最小循环周期为 19。136÷19=7……3，所以有 7 个完整的循环周期。还多 3 本，正好多 3 本小说，最后一本为小说。
3. 学校有足球和篮球的数量比为 8 ∶ 7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为3 ∶ 2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为 7 ∶ 6。已知买进的足球比买进的篮球多 3 个，原来有足球多少个？（ ）
A.48
B.42
C.36
D.30
※【答案】A。解析：由题意可知，原来足球的个数能被 8 整除。只有 A 项能够被 8 整除。
