六、相交弦定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。
如下图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，若AE·CE=BE·DE，则A、B、C、D四点共圆。
证明：根据已知条件AE·CE=BE·DE得出：
AE/DE=BE/CE,∠AED=∠BEC，
故△AED∽△BEC；
同理AE/BE=DE/CE,∠AEB=∠DEC，△AEB∽△DEC。
由此相似三角形对应角相等标于图上，可得：
∠α ∠β ∠θ ∠ε=180°，
即四边形ABCD的对角互补，故A、B、C、D四点共圆成立。
仅依据∠BAC=∠BDC或∠ABD=∠ACD或ADB=∠ACB或∠DAC=∠DBC均可证明A、B、C、D四点共圆。
七、割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。
如下图，在四边形ABCD中，BA、DC的延长线交于点P，若PA·PB=PC·PD，证明A、B、C、D四点共圆。
证明：已知PA·PB=PC·PD，则
PA/PC=PD/PB,且∠APC=∠BPD，
故△APC∽△DPB，∠D=∠PAC。
根据判定方法4可知A、B、C、D四点共圆。
八、托勒密定理的逆定理：在四边形ABCD中，满足AC·BD=AB·DC AD·BC，求证：A、B、C、D四点共圆。
证明：如下图，在四边形ABCD中，连接AC，取点E，连接EA、EB、ED，使∠BAE=∠CAD=∠α；∠ABE=∠ACD=∠θ，故△ABE∽△ACD，则
AB/AC=AE/AD=BE=DC,
AB·DC=AC·BE…………①
在△ABC和△AED中，AB/AC=AE/AD，
∠BAC=∠α ∠EAC=∠EAD，
故△ABC∽△AED，BC/ED=AC/AD，
BC·AD=ED·AC…………②；
∠ADE=∠ACB=∠γ=∠β。
将① ②得：
AB·DC BC·AD=AC（BE ED）。
结合已知条件AB·DC AD·BC= AC·BD，则
BD= BE ED，很显然B、E、D三点共线等式才能成立，BD即为四边形的对角线（过E点）。
在△ABD中，∠BAD ∠θ ∠β=180°，
又∠γ=∠β，∠BAD ∠θ ∠γ=180°，即
∠BAD ∠BCD=180°，
根据四点共圆判定方法三，则A、B、C、D四点共圆成立。
