维也纳中央咖啡馆，右图下方是经常光顾这家咖啡馆的奥地利作家Peter Altenberg的雕像（笔者摄）
1921年，哈恩出任维也纳大学数学系系主任，看到了实现小组原有计划的机会。在他的支持下，石里克于1922年被任命为维也纳大学归纳科学哲学系主任，维也纳学派应运而生并不断扩大。回到维也纳后，哈恩开始对符号逻辑进行深入研究，并着眼于相关的哲学问题，一共撰写了八篇关于经验论、逻辑学和数学的文章，被后人结集出版。他开设了布尔代数课程，主持了关于维特根斯坦的《逻辑哲学论》以及怀特黑德（Alfred North Whitehead，1861–1947）和罗素（Bertrand Russell，1872–1970）的《数学原理》研讨会。哈恩认为罗素很可能会被视为那个时代最重要的哲学家，这在很少有中欧哲学家了解罗素著作的时期是非同寻常的。
1929年，哈恩与卡尔纳普、纽拉特一起，撰写了维也纳学派的公开宣言，叙述了学派的历史、成员、倾向和目标，并将其题献给石里克。宣言中说，维也纳学派有两个基本原则：一是认为知识只能来自经验；其次，科学的世界概念的标志是使用一个特定的方法，即逻辑分析法。然而，哈恩的名字常常不出现在宣言撰写者的名单中。哈恩逝世后，弗兰克在讣告中写道：哈恩 “可视为维也纳学派的真正创始人。” “在某种意义上，他始终是该组织的中心。” “没人知道他如何以如此简单而透彻的方式、合乎逻辑和暗示性的形式呈现这些主要思想。”
哈恩因使用其数学和哲学著作来研究精神现象而闻名，他有一个题为《直觉的危机》的著名演讲，他指出：“由于直觉证明为真的命题被逻辑反复证明是假的，所以数学家们越来越怀疑直觉的有效性。……因此，出现了从数学推理中排除直觉的需求，以及对数学的完全形式化的需求。”“直觉并非纯粹先天的知识手段，而是植根于心理惰性的习惯力量。”哈恩晚年的部分业余时间用于超心理学研究，并举办了一些公开讲座。在政治上哈恩是一位坚定的社会主义者，积极参与社会民主主义运动。他不遗余力地为公众服务，尤其是投身于成人教育，为有潜力的贫困学生尽其所能。
门格尔和维也纳研讨会
哈恩的两名学生后来也成为维也纳学派的重要成员，其中之一是卡尔·门格尔（Karl Menger，1902-1985）。他的父亲老卡尔·门格尔（Carl Menger，1840-1921）是奥地利经济学派的创始人，他的母亲赫敏·安德曼（Hermine Andermann，1869–1924）是一位犹太裔作家和音乐家。门格尔于1920年进入维也纳大学学习物理学，第二年参加了哈恩开设的关于曲线概念的新课程，十分着迷。在哈恩的鼓励下，门格尔开始对相关问题进行研究。他在患肺病疗养期间，独立给出维数的定义并获得重要结果，于1924年以《关于点集的维数》的论文获得数学博士学位。博士毕业后，门格尔在阿姆斯特丹大学度过两年，担任荷兰数学家和哲学家鲁伊兹·布劳威尔（Luitzen Brouwer，1881–1966）的助手。
门格尔的主要研究领域是维数理论、逻辑、几何、图论和博弈论，现代点集几何理论的发展与维数概念密切相关。门格尔在研究拓扑维数概念时，构造了后来以他的名字命名的 “门格尔海绵”（Menger sponge），又称 “门格尔立方体”。门格尔海绵是拓扑维数为1的通用曲线，即任何一维曲线都与门格尔海绵的一个子集同胚；它是一维的康托尔集和二维的谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广，其分形维数为 (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.727；它是勒贝格测度为0、表面积无穷大的不可数紧集。1928年，门格尔出版了著作《维数理论》，他在书中将自己及同行的研究成果汇集为一个有机整体，并揭示了对这一理论未来发展方向的非凡认识。
门格尔证明了图论中最重要的结果及关于图的连通性的基本定理之一——门格尔定理，即在有限图中，最小割集的大小等于在任何顶点对之间不相交路径的最大数量。这一结果收录在他的第二本著作——1932年出版的《曲线理论》中。门格尔参加了同年在苏黎世举行的国际数学家大会，作了《几何的新方法和问题》的大会报告。门格尔还发展了19世纪英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley，1821–1895）关于距离几何的理论，被认为是这一数学分支的创始人之一。距离几何是对半度量空间和它们之间的等距变换的研究，在基本定义中出现的特征数学表达式是 Cayley-Menger 行列式，距离几何在如 GPS 之类的电信网络、化学中如NMR技术，以及一些应用程序软件包中有广泛应用。
门格尔和门格尔海绵（math.duke.edu & YouTube）
1927年应哈恩之邀，门格尔回到维也纳大学，担任数学系教授并很快成为维也纳学派的活跃成员。门格尔对科学最持久的贡献，是在1928-1936年间组织创办的 “维也纳研讨会”（Vienna Colloquium），研讨会每两周在维也纳玻尔兹曼街5号举办一次。早期的演讲和讨论集中在纯数学，特别是几何和拓扑方面，后来扩大到物理科学、哲学、统计学和经济学领域，许多不同的新思想在这里交汇碰撞。门格尔保存了研讨会的全部记录，编辑出版了八期论文集《学术研讨会的成果》。他曾计划出版一本名为《维也纳学派及那个时代的奥地利》的专著，但由于其他项目和健康原因未能完成。
许多著名学者应邀在维也纳研讨会发表演讲，其中包括爱德华·切赫（Eduard Čech，1893–1960）、阿尔弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901–1983）、约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，1903–1957）、诺伯特·维纳（Norbert Wiener，1894–1964）、奥斯卡·摩根施特恩（Oskar Morgenstern，1902–1977）等人。在研讨会上，冯·诺依曼通过对布劳威尔不动点定理的推广，首次给出关于一般竞争均衡存在的纯拓扑证明，他的有关多部门经济扩张模型的论文发表在最后一期论文集上。冯·诺伊曼和摩根施特恩于1943年在普林斯顿发表的划时代著作《博弈论和经济行为》中，将不确定性引入选择理论和博弈论的发展，也可溯源到维也纳研讨会。
早在1922年读博养病期间，门格尔完成了其父的遗著《国民经济学原理》第二版的修订和出版工作，并获得了相当多的经济学专业知识，因此他认为自己心中“住着两个灵魂”——数学家的和经济学家的。门格尔独特的成长经历和教育背景，使得他在经济学家和数学家之间的合作发挥了桥梁和催化作用。维也纳学派的许多重要思想都起源于门格尔，然而却经常被归因于他人。和他的导师哈恩一样，门格尔作为哲学家并不总是得到应有的认可，实际上他可以被称为“最合乎逻辑的实证主义者”。随着纳粹在德国的崛起，奥地利政治局势逐步恶化，1936年维也纳研讨会停止活动。
1937年门格尔应聘前往美国印第安那州圣母大学任教，在那里开始研究双曲几何、概率几何和函数代数，并将大部分精力投入高等数学教育工作，撰写了有关教学新思想的文章和书籍。后来门格尔访问了同样移居美国并担任芝加哥大学哲学教授的卡尔纳普，后者按照维也纳学派的模式创建了 “芝加哥学派”。因此门格尔于1948 年到伊利诺伊理工学院教书，直到1971年退休并在芝加哥度过余生，他在维也纳和美国一共指导了18位数学博士。1980年，门格尔为哈恩的论文集《经验论、逻辑学和数学》英文版撰写了序言，概述了哈恩的一生，本文中关于哈恩的许多描述就来自这篇序言。
哥德尔和不完备性定理
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978）是哈恩最著名的学生，与被低估的导师哈恩、师兄门格尔不同，哥德尔是维也纳学派中最富盛名的数学家和哲学家。哥德尔出生于奥匈帝国的布尔诺（Brünn，今属捷克），自幼体弱多病，他小时候因其永不满足的好奇心获昵称“为什么先生”（Der Herr Warum），高中时期就已经掌握了大学数学。1923 年哥德尔进入维也纳大学，开始学习理论物理，但对于精确性的追求使他转向数学。1926年左右，在哈恩的引导下，哥德尔参加了维也纳学派的活动，但他与逻辑实证主义的见解并不相同。在石里克主持的关于罗素《数学哲学导论》的讨论会上，哥德尔对数理逻辑产生了极大兴趣，之后跟随哈恩攻读博士学位。
1920年代，大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）提出了一项影响深远的数学研究计划——“希尔伯特纲领”。他建议将所有现有理论建立在一组有限的、完整的公理之上，并提供这些公理是一致的证明，希望以此一劳永逸地解决所有数学基础问题。哥德尔通过维也纳学派的活动了解到希尔伯特纲领，参加了希尔伯特在博洛尼亚的一场讲座，并将其作为自己博士研究的选题。他于1929年完成了博士论文《关于逻辑演算的完备性》，指出一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。1931年经哈恩推荐，哥德尔的划时代论文《论数学原理及相关系统的形式上不可判定定理》正式发表。门格尔也是哥德尔的大学老师，论文中著名的不完备性定理最早就是在维也纳研讨会上宣布。
哥德尔在这篇论文中的主要结果是：1. 任何自洽的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以构造在系统中不能被证明的真命题，因此通过推理演绎不能得到所有真命题（即系统是不完备的）。2. 任何逻辑自洽的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就不能用于证明其本身的自洽性。他证明了在任何数学公理系统中自洽性和完备性都是不相容的，从而结束了人们一个世纪以来将整个数学大厦建立在公理化基础上的尝试。哥德尔不完备性定理是 20 世纪数学的一个里程碑和转折点，它表明数学并不是像人们想象的那样完美，也意味着计算机永远不可能用编程来回答所有数学问题，从而撼动了当时被希尔伯特认为完美的数学王国。
1932年，哥德尔获得Habilitation “特许任教资格”，第二年开始成为维也纳大学的无薪讲师，讲授过《算术基础》《数理逻辑》《公理集合论》等课程。1933-1938年间，他曾三次访问美国，在普林斯顿高等研究院（IAS）从事客座研究。1936年6月，石里克被刺身亡，引发了哥德尔严重的精神疾病，因此不得不在疗养院度过数月。1938年春季学期，门格尔曾安排哥德尔访问圣母大学，但未能说服他接受那里的职位。随着1938年3月德国吞并奥地利，1939年9月二战爆发，哥德尔面临失去工作、被征兵等种种困境。他偕同新婚不久的妻子，于1940年再次来到普林斯顿，在IAS获得一个职位，1946 年成为IAS的永久成员，1953 年成为正教授。
哥德尔及其在维也纳最后的住址（维基百科 & ltn.lv）
尽管存在健康问题，哥德尔在1930年代后期的研究工作仍然进展顺利。1938年秋天，他在普林斯顿完成了另一篇经典之作《选择公理和广义连续统假设与集合论公理的一致性》。在1900年巴黎国际数学家大会上，希尔伯特提出了20世纪有待解决的23个重要数学问题，其中第一个问题是 “连续统假设是否成立”。哥德尔用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性，即连续统假设不能在ZFC系统中被证伪。1963年，美国数学家保罗·科恩（Paul Cohen，1934-2007）用力迫法证明了连续统假设不能在ZFC系统中被证明，即连续统假设独立于ZFC系统。顺便说一下， “希尔伯特的23个问题”与 “希尔伯特纲领”是两个不同的概念，后人常有混淆。
在普林斯顿，哥德尔找到了安心做学问的避难所，获得了广泛追求学术兴趣的充分自由。哥德尔第一次访问普林斯顿时就结识了爱因斯坦，相见恨晚，成为忘年之交。爱因斯坦晚年时曾说过：“我来上班就是为了能有同哥德尔一起散步回家的荣幸” ，两人的午后散步是普林斯顿的一道风景。从1943年开始，哥德尔的主要精力从数理逻辑转向哲学研究。1949年他还客串了一把相对论，发现了爱因斯坦场方程的一个精确解，被称为 “哥德尔度量”或 “哥德尔宇宙”。这是一个宇宙学常数为负数的旋转宇宙模型，其中存在封闭的类时曲线，在理论上让时光倒流成为可能。哥德尔认为时间和变化不是客观实在的， “有许多联系，今天的科学和正统的智慧对之一无所知”。
哥德尔信奉柏拉图主义，将数学视为他所钟爱的哲学的最后堡垒。1952年哈佛大学授予哥德尔名誉博士学位，称他是“本世纪最有意义的数学真理的发现者”。1970年代初期，著名美籍华裔数理逻辑学家王浩曾与哥德尔大量讨论哲学，王浩这样描述哥德尔：“在他的手里，数学和哲学意蕴丰富，优美异常，且无半点门户怨气。在意见相左的思想圈子中，他享受如此的尊重，为当世所少见。世人相争相斗，乐此不疲，他却超然于竞争之外。他的著作，对当代逻辑的所有分支来说，都是基础和生命力。在哲学中，情形却相反，他大量的著述还未发表，对他的观点也是众说纷纭，莫衷一是。……人们耳熟能详的，只是他对自己的数学哲学简略的勾画。”
哥德尔和爱因斯坦在普林斯顿（wsj.com）
其他几位数学家
理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises，1883-1953）出生于奥匈帝国伦贝格（今为乌克兰的利沃夫）的一个犹太家庭，本科在维也纳科技大学学习数学、物理和工程学。1907年冯·米塞斯获得维也纳大学力学博士学位。冯·米塞斯先后担任斯特拉斯堡大学、德累斯顿科技大学、柏林大学教授，1944 年起任哈佛大学空气动力学和应用数学讲席教授。冯·米塞斯的主要研究领域包括力学、航空学、统计学和概率论，他发展了应力的畸变能量理论，独立制定了塑性理论的冯·米塞斯屈服准则，最早提出概率论中的“生日问题”，还定义了赌博系统的不可能性。
在数学力学工作之外，冯·米塞斯也追随马赫的脚步，对科学哲学做出了重要贡献。他于1939年出版了哲学著作《实证主义：人类理解的研究》，副标题为 “科学的目标和态度如何应用于人类的所有智力活动——无论是科学、艺术或是伦理学。” 他认为实证主义并不声称所有的问题都可以得到合理的回答，正如医学并不以所有疾病都可以治愈为前提，或者物理学并不以所有现象都是可以解释的假设为出发点一样，然而仅仅由于某些问题可能没有答案并不足以成为不寻找答案或不使用可获得的答案的充分理由。冯·米塞斯的著述现在已经基本被遗忘，但他的总体观点仍然存在。
库尔特·雷德迈斯特（Kurt Reidemeister，1893–1971）从 1912 年起先后在弗莱堡、慕尼黑、马尔堡和哥廷根大学学习，1920年获数学、哲学、物理、化学、地质学的中学教师任教资格，1921 年以代数数论的论文获得汉堡大学博士学位。经哈恩推荐，1923年雷德迈斯特被维也纳大学聘用，并加入维也纳学派。在他的带领下，维也纳数学家团队用了一年时间研究维特根斯坦的《逻辑哲学论》中关于逻辑和数学的深刻思想。雷德迈斯特先后在柯尼斯堡、马尔堡、哥廷根大学担任教授，他的主要研究兴趣是组合群论、组合拓扑、几何群论和几何基础，撰写了关于纽结理论的重要著作《纽结和群》、《纽结理论》，以及哲学著作《希腊人的确切想法》。
亚伯拉罕·沃尔德（Abraham Wald，1902-1950）出生在匈牙利的一个犹太知识分子家庭，毕业于费迪南一世国王大学。他于1927年进入维也纳大学研究生院，在门格尔的指导下撰写了题为《关于希尔伯特公理系统》的博士论文，1931年获得博士学位。1930年代，沃尔德担任奥地利著名经济学家卡尔·施莱辛格（Karl Schlesinger，1889-1938）的数学老师，是门格尔研讨会的积极参与者。他发表了多篇几何学及经济学的论文，还为研讨会撰写了一部关于时间序列中季节性变化的专著。1938年，沃尔德应邀前往美国进行计量经济学研究，是统计序列分析领域的开创者。二战期间，沃尔德为美国海军服务，提出了 “幸存者偏差”的概念，1950年与妻子在飞机失事中双双遇难。
奥尔加·陶斯基-托德（Olga Taussky-Todd，1906-1995）出生于奥匈帝国时期捷克奥洛穆茨的一个犹太家庭，1925 年进入维也纳大学学习数学，哈恩和门格尔是她的老师，哥德尔是她的同学。陶斯基专攻代数数域理论，于1930年获得博士学位。她在读书期间参加了维也纳学派的活动，与哈恩-纽拉特、罗斯·兰德（Rose Rand，1903-1980）一样，是最早加入维也纳学派的女性之一。从维也纳大学毕业后，陶斯基受聘哥廷根大学，参与编辑希尔伯特数论全集第一卷，还担任过埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）和理查德·库朗（Richard Courant，1888-1972）的助理。她后来移居英国，又与丈夫——爱尔兰数学家杰克·托德（Jack Todd，1911-2007）一起移民美国，先后在国家标准局和加州理工学院工作。
古斯塔夫·伯格曼（Gustav Bergmann，1906-1987）在维也纳大学攻读数学、辅修哲学，从事多维微分几何的研究，1928年获得博士学位。伯格曼在读博期间，与他的高中同学哥德尔一起，成为维也纳学派最年轻的成员。1938 年秋天，伯格曼移民美国，定居爱荷华。在乘船穿越大西洋的时候，伯格曼应纽拉特的要求撰写了一本专著《维也纳学派的回忆：致奥图·纽拉特的信（1938 年）》。1940年后期，伯格曼开始了后来成为他最重要的工作——形而上学、逻辑哲学和心灵哲学的研究，他坚持认为逻辑实证主义本身也包括一种隐含的形而上学。伯格曼在心理学和物理学哲学，以及逻辑和概率论方面发表了大量论文及著作，后来成为爱荷华大学哲学和心理学教授。
