在1980年代后期和1990年代初,信号处理迎来了“小波革命”,小波变换也被应用在了许多信号处理的任务上。例如,压缩(JPEG2000图像压缩格式)和降噪,以及更现代的应用(压缩感知)。此外,Meyer的工作还推动了调和分析和偏微分方程式领域的重要理论发展,从证明Lipschitz曲线上柯西积分的有界性(由Coifman、McIntosh和Meyer解决),到发展理解在偏微分方程的非线性效应不可缺少的新工具(比如补偿紧致等)。不仅如此,Meyer还在准晶体、奇异积分算子和纳维-斯托克斯方程式等课题做出了重要贡献。可以说,Meyer的工作和洞见不仅推动了纯数学和数学分析相关应用的发展,还为二者之间架起了卓有成效的沟通桥梁。
Stéphane Mallat称他为“有远见的人”,他的工作不属于任何一个领域(比如纯数学、应用数学或计算机科学),只能用“神奇”来标签。
下面给几个好玩的例子。
小波在指纹压缩中的应用
从20世纪初引入指纹以来,指纹记录就一直以油墨捺印的形式被储存在纸质卡片上,很难进行快速搜索。到20世纪90年代中期,FBI决定把这些指纹档案数字化,他们将其转换成有256个不同灰度级的灰度图像,分辨率为每英寸500点,足以捕捉到所有细微的斗纹、箕纹、脊线末端、分叉和指纹的其他可识别性细节。但这样一张指纹文件大约10 MB!在那个时候,即使最先进的“猫”和传真机,传输 10 MB的文件也要花上几个小时,更何况当时的首选介质是 1.5 MB的软盘,要交换这么大的文件是非常困难的。每天都有 3 万张用于紧急背景调查的新指纹卡片涌入,FBI必须找到一种在不使指纹失真的前提下压缩指纹档案的方法。
以研制出世界上第一颗原子弹而闻名于世的洛斯阿拉莫斯国家实验室的数学家与FBI合作,把指纹表示成许多个小波的组合,并利用微积分使它们最优化,从而将指纹档案缩小了20倍以上。
就这样,得益于现代形式的费马思想(以及小波分析理论、计算机科学和信号处理等的作用),一个10MB的文件能被压缩到只有500 KB,可以毫不费力地通过电话线来传送。而且,这是在不牺牲保真度的情况下做到的,得到了人类指纹专家的高度认同。这就是小波标量量化指纹压缩算法,它应用于FBI的集成自动指纹识别系统 (IAFIS) 中。WSQ算法专门设计用于压缩8位灰度、500 ppi (19.7ppmm) 的指纹图像。
引力波的探测
LIGO团队能够在小于1秒的时间尺度上得到引力波频率的变化情况,进而确定引力波源的性质,得益于小波分析技术。
最后,以Daubechies的照片结束
英格丽·多贝西(Ingrid Daubechies)
不要怀疑自己的能力。