前段时间有人问，球的体积计算公式是什么？
由于长期依赖各类搜索，再加上对睡觉，刷剧，电子竞技等一系列新兴趣的开发，这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现，基础的微积分计算法则好像也有些生疏了。
于是我开始了相关探索，半天下来，不仅成功算了个球的表面积，还算了个球的体积，而这个过程，和微积分法则毫无关系。那么怎样不用微积分就能算个球呢？
Credit: 3blue1brown
首先，抛弃了微积分这一曲线计算利器，我们的替代工具是：一点点相似三角形知识，一点点空间想象力，再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理。
算个球的表面积！
众所周知，球的表面积公式是 4πr2，正好是同半径圆形面积的4倍，这不禁让人浮想联翩，为什么正好是 4 倍呢？难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密？顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手，感到弱小，可怜，又无助。
这也正是我初期经历的心路历程，直到我发现了另一个秘密：4πr2正好是这个球外接圆柱的外围面积。
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想象一下，如果把球表面划分小块，沿水平向四周投影，按理来说，这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒”。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高：2πr*2r = 4πr2，和里面这颗球的表面积不谋而合！
就像下图右上角示意的那样，球上的小块被投影到圆筒上会变形，它们的宽度可能增大，而高度会相应变小。
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小块可以从平视和俯视两个方向来观察。那我们就来看看，投影过程中，我们的小块到底经历了什么不为人知的变化。
先看俯视图：
