相似矩阵的特性之一就是它们的特征值相同。这是因为相似矩阵的定义就包含了这一性质。
设矩阵 A 和矩阵 B 是相似的，即存在一个可逆矩阵 P，使得 A 和 B 满足关系式：B = P^(-1) * A * P。
我们知道，特征值是矩阵的特征多项式等于 0 时的根。对于矩阵 A 和矩阵 B，它们的特征多项式分别是 det(A - λI) 和 det(B - λI)。由于矩阵 B 是矩阵 A 通过可逆矩阵 P 变换得到的，所以它们的特征多项式是相同的。
因此，当矩阵 A 和矩阵 B 相似时，它们的特征值是相同的。这就是相似矩阵特征值相同的原理。
这一性质在矩阵对角化、矩阵相似变换等方面有广泛的应用。通过矩阵相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵简化为易于处理的形式，如对角矩阵，从而方便进行矩阵运算和矩阵函数的求解。
