但是圆并不是正弦波的源,同样正方形也不是线条的源。它们仅仅是例子。
▌正弦值的意义是什么?
正弦值位于-1和1之间。它开始于0,逐渐增大至1.0(最大值),然后减小至-1.0(最小值),最后返回到0。如果把正弦值看成一个百分数,那么正弦运动就如同急行军,从0开始加速到100%(全速前进)后来又从-100%(全线撤退)回到0。
▌正弦sin(x)的输入x指的又是什么?
虽然有些费解,但是也可以弄清楚。sin(x)是一个无限循环,而输入x就是我们在这个循环里的位置。
还是先看看直线吧:
- 假设,你沿着一个在正方形的边行走,走完每条边需要10秒钟。
- 1秒后,你走完一条边的10%
- 5秒后,你走完那条边的50%
- 10秒后,你走完整条边
线性运动就是这样平淡无奇。现在看看正弦(注意“0到最大值”这个区间):
▌正弦波的递增区间
- 这次,我们沿着正弦波行走,从0(中间值)走到1.0(最大值)。此过程需时10秒。
- 5秒后,我们走完行程的70%!正弦运动在起始点的速度很快,然后慢慢减速。前5秒内就完成了大半行程。
- 剩下的5秒,我们将走完剩下的70%到100%这段行程。而且,最后98%到100%这段我们将整整走1秒钟。
尽管初始速度很快,但是正弦运动就是这样,它会温柔地减速,直至停在最大值,然后华丽转身。就是这份从容使得正弦波格外与众不同。
快速问答:线性循环的10%和正弦循环的10%,哪一个距离原点更远?答案是正弦。前面提到,正弦运动在原点的速度最快。当正弦运动完成循环的50%时,它的速度降低到线性运动的平均速度,之后正弦运动继续减速,直至停在最大点,然后返回。所以,在开始阶段正弦运动跑得比线性运动快。
可见,输入x是指完成循环的量。那么,循环又是什么呢?
这和应用背景密切相关。
- 在基础三角学中,'x'为角度,一个循环为360度。
- 在高阶三角学中,'x'为弧度(弧度更自然),一个循环为单位圆一周(2pi)
问题又来了,循环依赖于圆!我们还能摆脱圆的纠缠吗?(未完待续)