用“曲线下的面积”来描述积分,就像用一串单词来描述一本书。
正弦函数的积分是其曲线下的面积。几何直觉就是:“正弦的积分是沿圆周路径的水平距离。”这句话第一次听说感觉比较抽象,当你理解了就会觉得它非常的美妙
一般的思维模式求正弦函数的积分就是:用黎曼和原理
在这里我们想象一下sinx的变化
- X是我们当前的弧度角。在单位圆上(半径= 1),角度就是沿圆周的距离。
- dX 是角度的微小变化,圆周会以此作相同的变化
- 原始三角形(斜边= 1):高度= sin(X),宽度= cos(X)
- 更改后的三角形(斜边= dx):高度= sin(X)dX,宽度= cos(X)dX
所以可以理解为:我们的变化只是旋转和缩放了的原始三角形
图中sinxdx就是dx的水平分量,由此得到
sin(x)的积分等于沿路径的水平变化量
我们把它画出来,看看会发生什么