怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳

首页 > 上门服务 > 作者:YD1662023-11-09 19:37:33

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(1)

§1.1 集合的概念第1课时 集合的概念

学习目标 1.通过实例了解集合与元素的含义,利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题,能判断元素与集合的关系.2.识记常见数集的表示符号.

导语

问一下同学们,大家最喜欢上什么课?(嗯,有同学说体育课)在体育课上,体育老师常说的一句话就是‘集合’,这个时候,同学们从四面八方集合到一起,而这个集合是一个动词,在我们数学课上,也有一个名词‘集合’,比如在小学和初中,我们学习过自然数的集合,同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等,为了进一步了解集合的有关知识,请同学们观察下面的几个例子.

一、元素与集合的概念

问题1 看下面的几个例子,观察并讨论它们有什么共同特点?

(1)1~10之间的所有偶数;

(2)立德中学今年入学的全体高一学生;

(3)所有正方形;

(4)到直线l的距离等于定长d的所有点;

(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根;

(6)地球上的四大洋.

提示 以上例子中指的都是“所有的”,即某种研究对象的全体,研究对象可以是数、点、代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.

知识梳理

1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母abc…表示;

2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母ABC…表示.

二、集合中元素的特征

问题2 问题1中的几个例子都能构成集合吗?它们的元素分别是什么?

提示 (1)都能构成集合.(2)①2,4,6,8,10;②立德中学今年入学的每一位高一学生;③正方形;④到直线l的距离等于定长d的点;⑤1,2;⑥太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋.

知识梳理

1.集合中元素的特征:确定的,互不相等的,无序的;

2.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.

注意点:

(1)集合中的元素必须是确定的,不能是模棱两可的,任何两个元素不能相同,且与顺序无关;

(2)利用集合相等求参时,已知元素是突破口.

例1 (1)(多选)以下元素的全体能构成集合的是(  )

A.中国古代四大发明

B.周长为10 cm的三角形

C.方程x2+2x+1=0的实数根

D.地球上的小河流

(2)集合P中含有两个元素1和4,集合Q中含有两个元素1和a2,若PQ,则a=________.

答案 (1)ABC (2)±2

解析 (1)在A中,中国古代四大发明具有确定性,能构成集合;在B中周长为10 cm的三角形具有确定性,能构成集合;在C中,方程x2+2x+1=0的实数根为-1,能构成集合;在D中,地球上的较小河流不确定,因此不能构成集合.

(2)由题意得a2=4,a=±2.

延伸探究 若将(2)改为“若集合Q中含有两个元素1和a2,求a的取值范围.

解 由元素是互不相同的,得a2≠1,即a≠±1.

反思感悟 (1)判断一组对象能构成集合的条件

①能找到一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素;

②任何两个对象都是不同的;

③对元素出现的顺序没有要求.

(2)判断两个集合相等的注意点

若两个集合相等,则这两个集合的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.

跟踪训练1 (1)下列说法中正确的是(  )

A.与定点AB等距离的点不能构成集合

B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5

C.一个集合中有三个元素abc,其中abc是△ABC的三边长,则△ABC不可能是等腰三角形

D.高中学生中的游泳能手能构成集合

(2)设ab是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,aab三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b=________.

答案 (1)C (2)1

解析 (1)A不正确,与定点AB等距离的点在AB的垂直平分线上,能构成集合;B不正确,由title中的字母构成的元素为tile共4个;C正确,一个集合中有三个元素abc,故abc互异,故不可能构成等腰三角形;D不正确,游泳能手没有确定的标准,故不能构成集合.

(2)由题意知ab=0,所以=-1,所以b=1,a=-1,所以a+2b=1.

三、元素和集合之间的关系

问题3 如果体育老师说“男同学打篮球,女同学跳绳”,你去打篮球吗?

提示 是男生就去,不是男生就不去.

知识梳理

1.元素和集合之间的关系

知识点

关系

概念

记法

读法

元素与集

合的关系

属于

如果a是集合A的元素

aA

a属于

集合A

不属于

如果a不是集合A的元素

aA

a不属于

集合A

2.常用数集及其记法

名称

非负整数集

(或自然数集)

正整数集

整数集

有理数集

数集

记法

N

N*或N

Z

Q

R

注意点:

(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系,注意符号的书写;

(2)0属于自然数集.

例2 (1)下列结论中,不正确的是(  )

A.若aN,则-aN B.若aZ,则a2∈Z

C.若aQ,则|a|∈Q D.若aR,则a3∈R

(2)设集合B是小于的所有实数的集合,则2________ B,1+________B.(用符号“∈”或“∉”填空)

答案 (1)A (2)∉ ∈

解析 (1)A中a=0时,显然不成立.

(2)∵2=>,∴2∉B,∵(1+)2=3+2<3+2×4=11,∴1+<,∴1+∈B.

反思感悟 判断元素和集合关系的方法

直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的,然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.

推理法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

跟踪训练2 (1)用符号“∈”或“∉”填空:

0____N;-3____N;0.5____Z;____Z;____Q;π____R.

(2)已知集合A中元素x满足2xa>0,aR,若1∉A,2∈A,则实数a的取值范围为_________.

答案 (1)∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ (2)-4<a≤-2

解析 (1)略.

(2)因为1∉A,2∈A,所以即-4<a≤-2.

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(2)

1.知识清单:

(1)元素与集合的概念;

(2)集合中元素的特征;

(3)元素与集合的关系;

(4)常用数集的记法.

2.方法归纳:直接法,推理法.

3.常见误区:自然数集中容易遗忘0这个元素.

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(3)

1.(多选)下列各组对象能构成集合的有(  )

A.接近于1的所有正整数

B.小于0的实数

C.(2 021,1)与(1,2 021)

D.未来世界的高科技产品

答案 BC

解析 A中,接近于1的所有正整数标准不明确,故不能构成集合;B中小于0是一个明确的标准,能构成集合;C中(2 021,1)与(1,2 021)是两个不同的点,是确定的,能构成集合;D中未来世界的高科技产品不能构成一个集合.

2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是(  )

A.∈M B. 0∉M C.1∈M D. -∈M

答案 D

解析 >1,故A错;-2<0<1,故B错;1∉M,故C错;-2<-<1,故D正确.

3.用符号“∈”或“∉”填空.设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国____A,美国____A,印度____A,英国____A.

答案 ∈ ∉ ∈ ∉

4.设集合A含有两个元素xyB含有两个元素0,x2,若AB,则实数x=____;y=____.

答案 1 0

解析 由题意得或即或

又当xy=0时,不满足集合元素的互异性,所以x=1,y=0.

课时对点练

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(4)

1.下面给出的四类对象中,构成集合的是(  )

A.某班视力较好的同学 B.长寿的人

C.π的近似值 D.倒数等于它本身的数

答案 D

解析 此题考查集合概念的确定性,只有D中的元素是确定的.

2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系中正确的是(  )

A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M

C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M

答案 B

解析 本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M.

3.下列各组中集合PQ,表示同一个集合的是(  )

A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合

B.P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合

C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合

D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集

答案 A

解析 由于A中PQ的元素完全相同,所以PQ表示同一个集合,而B,C,D中PQ的元素不相同,所以PQ不能表示同一个集合.

4.已知集合M是方程x2-xm=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是(  )

A.1∈M B.0∈M

C.-1∈M D.-2∈M

答案 C

解析 由2∈M知2为方程x2-xm=0的一个解,

所以22-2+m=0,解得m=-2.

所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.

故方程的另一根为-1.

5.(多选)集合A中含有三个元素2,4,6,若aA,且6-aA,那么a为(  )

A.2 B.-2 C.4 D.0

答案 AC

解析 若a=2,则6-2=4∈A

a=4,则6-4=2∈A

a=6,则6-6=0∉A.

6.(多选)下列说法中错误的有(  )

A.集合N中最小的数是1

B.若-aZ,则aZ

C.所有的正实数组成的集合R

D.由很小的数可组成集合A

答案 ABD

解析 集合N中最小的数是0,A错误;Z表示整数集,若-aZ,则aZ,B错误;所有的正实数组成集合R+,C正确;很小的数没有确定性,不可组成集合,D错误.

7.若由a,,1组成的集合A与由a2,ab,0组成的集合B相等,则a2 021+b2 021的值为________.

答案 -1

解析 由已知可得a≠0,因为两集合相等,又1≠0,

所以=0,所以b=0,

所以a2=1,即a=±1,

又当a=1时,集合A不满足集合中元素的互异性,舍去,

所以a=-1.

所以a2 021+b2 021=-1.

8.以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有________个元素.

答案 3

解析 方程x2-5x+6=0的根是2,3,方程x2-x-2=0的根是-1,2.根据集合中元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中共有3个元素.

9.判断下列元素的全体是否能组成集合,并说明理由:

(1)到∠AOB两边等距离的点;

(2)高中学生中的灌篮高手.

解 (1)到∠AOB两边等距离的点在∠AOB的角平分线上,故元素是明确的,可以组成集合.

(2)对于灌篮高手,概念模糊,无法明确界定,故不能组成集合.

10.已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,aR.

(1)若-3∈A,试求实数a的值;

(2)若aA,试求实数a的值.

解 (1)因为-3∈A,所以-3=a-3或-3=2a-1.

若-3=a-3,则a=0.此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题意;

若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题意.

综上所述,实数a的值为0或-1.

(2)因为aA,所以aa-3或a=2a-1.

aa-3时,有0=-3,不成立;

a=2a-1时,有a=1,此时A中有两个元素-2,1,符合题意.

综上知a=1.

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(5)

11.集合A的元素y满足yx2+1,集合B的元素(xy)满足yx2+1(ABxRyR).则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(  )

A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B

C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B

答案 C

解析 集合A中的元素为y,是数集,

yx2+1≥1,故2∈A,集合B中的元素为点(xy),且满足yx2+1,经验证,(3,10)∈B.

12.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合AB,满足x1∈Ax2∈B,且x1x2∈AB,则AB中所有元素之积为(  )

A.-8 B.-16 C.8 D.16

答案 C

解析 集合AB中有2,-4,-1三个元素,故所有元素之积为8.

13.(多选)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值不可能是(  )

A.1 B.-2 C.-1 D.2

答案 ABD

解析 由题意知a2≠4,2-a≠4,a2≠2-a

解得a≠±2,且a≠1,即a的取值不可能是1,±2.

14.已知xyz为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是MM中元素个数为________.

答案 3

解析 针对xyz中,三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论,此时代数式的值分别为4,0,0,-4,共3个.

怎样理解集合概念,集合的概念知识点归纳(6)

15.已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2+axb=0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,则a=________;b=________.

答案 -3 2

解析 因为集合A与集合B相等,且1∈A,2∈A

所以1∈B,2∈B,即1,2是方程x2+axb=0的两个实数根.

所以所以

16.设集合A中的元素均为实数,且满足条件:若aA,则∈A(a≠1,且a≠0).

求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;

(2)集合A不可能是单元素集.

证明 (1)若aA,则∈A.

又因为2∈A,所以=-1∈A.

因为-1∈A

所以=∈A.

因为∈A,所以=2∈A.

所以A中另外两个元素为-1,.

(2)若A为单元素集,

a=,

a2-a+1=0,方程无实数解.

所以a≠,所以集合A不可能是单元素集.

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