在本文第二节我们曾经强调过，一个伊藤过程 X 的函数 f 也是一个伊藤过程，且 f 和 X 这两个随机过程中的不确定性来自同一个布朗运动。根据这个性质可知，股价和期权价格的变化，即 ΔC 和 ΔS 中，的布朗运动也是同一个。认识到这一点是非常关键的，因为我们可以使用股票和期权来构建一个投资组合把这个布朗运动完全干掉。考虑下面这个投资组合：
该组合做空 1 份期权，并做多 ∂C/∂S 份股票。将期权和股票的权重带入 ΔC 和 ΔS 可以很容易的验证，布朗运动 ΔB 被完美的对冲掉了。这种构建投资组合以消除随机性的方法称为 Delta 对冲。
用 P 表示该投资组合的价值，则它在时间 Δt 内的变化为：
不出意外，ΔB 不存在于 ΔP 的表达式中，它仅有一个时间项。换句话说，通过卖出 1 份期权并同时买入 ∂C/∂S 份股票，我们在 Δt 内完美的消除了任何风险，构建了一个无风险的投资组合。在不存在无风险套利的市场中，该投资组合在 Δt 内的收益率必须等于无风险收益率 r，即 ΔP = rPΔt。将 ΔP 和 P = -C (∂C/∂S)S 带入该式并进过简单的代数运算就推导出：
这便是大名鼎鼎的 Black-Scholes 微分方程。由于我们通过 Delta 对冲消除了随机性，该方程中没有任何随机变量，所以它是一个一般的（偏）微分方程，而非随机微分方程。求解这个微分方程需要给定的边界条件。对于欧式看涨期权，它的边界条件为当时间 t = T（行权时刻）时，期权的价格 C 必须满足 C = max(S(T) - K, 0)，这里 K 是行权价格。
最后引用衍生品研究领域的著名学者约翰 • 赫尔（John C. Hull）在其著作 Options, Futures, and Other Derivatives 中的一段话来总结 BS 微分方程的推导过程：
"我们之所以可以建立无风险交易组合是由于股票价格与期权价格均受同一种不定性的影响：股票价格的变动。在任意一段短时期内，衍生产品的价格与股票价格有完美的相关性；在建立了一个适当的股票与期权的组合后，由股票所带来的盈亏总是可以抵消由期权所带来的盈亏。这样一来，交易组合在一个短时间内的价值变化也就成为已知而没有不确定性。"
5 风险中性定价理论其实，使用给定的边界条件求解 BS 微分方程就可以得到欧式看涨期权的价格 C。然而，在衍生品的定价理论中还有一个非常重要的方法怎么强调都不为过，这就是风险中性定价理论（Risk-neutral valuation）。使用风险中性定价可以绕过求解 BS 微分方程，更加方便的求出 C。
仅仅看到这里也许你会误解：既然不用求解BS微分方程，那么费那么大力气推导它干什么？
然而，风险中性定价理论恰恰来自 BS 微分方程中的一个关键性质：
"BS 微分方程不涉及任何受投资者风险偏好影响的变量，在方程中出现的变量包括股票的当前价格、时间、股票价格波动率和无风险利率，而它们均与风险选择无关。"
从 BS 微分方程可知，标的股票的期望收益率 μ 没有出现在方程中。显然，μ 与投资者的风险偏好有关：投资者对风险的厌恶程度越高，对任何股票，相应的 μ 也会越高。可喜的是在采用 Delta 对冲构投资组合并推导 BS 微分方程时，μ 也正好消失了！我们通过 Delta 对冲想要干掉布朗运动，结果发现不仅布朗运动被干掉了，连 μ 也一起被拿下了，这真是一个 happy accident！
既然风险偏好在方程中不出现，那么意味着它的任何取值都不会影响方程的解。因此，在计算 C 时，我们可以使用任意的风险偏好，那么显然我们想要一个最简单的，即假设所有的投资者都是风险中性的。
对于任何衍生品定价来说，我们无外乎需要知道以下两点：
- 在到期（行权日）时它的期望价格。由于衍生品的价格是标的价格的函数，这显然和标的投资品的收益率参数 μ 有关。
- 我们需要根据衍生品在行权日的价格推算出在当前时刻该衍生品的价格，这意味着必须知道适合于该衍生品的折现率。
不幸的是，在现实世界中，这两个参数都很难被准确的估计。因此能够假设风险中性对于衍生品定价至关重要。正如约翰 • 赫尔所论述的那样：
"在每一个投资者都是风险中性的世界里，所有投资的回报率期望均为无风险利率 r，原因是对风险中性的投资者而言，不需要额外的回报而使他们承受风险。另外，在一个风险中性世界里，任何现金流的现值都可以通过对其期望值以无风险利率贴现来得到。因此，在假设世界是风险中性时能够大大地简化对衍生产品的分析。"
利用风险中性定价原理对衍生品定价的过程如下：
- 假定标的资产的收益率期望为无风险利率（即假定 μ = r）；
- 计算衍生产品到期时收益的期望；
- 用无风险利率 r 对衍生品收益期望进行贴现。
风险中性定价是获得期权定价公式的一个人为工具，但它所得到的解不仅在这个虚拟的风险中性世界中成立，而且在所有世界里（自然也就包括真是世界）也都是成立的。当我们从风险中性世界换到风险厌恶世界时，两件事会发生：股票价格变动的增长率期望以及对衍生产品收益所必需使用的贴现率都将会变化，而这两种变化刚好相互抵消。
下一节将会介绍如何使用风险中性定价理论求解欧式看涨期权的价格 C。
6 Black-Scholes 期权定价公式欧式看涨期权在行权日 T 的期望价值为 E[max(S(T) – K, 0)]，其中 S(T) 为股票在 T 时刻的价格，K 为行权价。股价 S 满足对数正态分布，在风险中性定价理论下，S 的期望收益率为无风险收益率 r，且期权的折现率也等于无风险收益率 r。因此，期权在当前时刻的价格 C 为：
