根据对数正态分布的性质可以方便的计算出 E[max(S(T) – K, 0)]，从而得到著名的 BS 期权定价公式（同时给出看涨期权价格 C 和看跌期权价格 P）：
根据公式并利用计算机，只要输入五个变量——当前股价 S(0)、行权价格 K，行权日距现在的时间（按年计算）T，无风险收益率 r，以及标的股票的年收益率的标准差 σ ——就可以计算出欧式看涨（看跌）期权的理论价格，这无疑非常方便。然而我们需要了解定价公式背后的含义。
对于任何一个期权，在定价时有两个不确定性需要考虑：
- 这个期权到行权日到底是不是实值期权（in-the-money），就是到底有没有行权的价值（比如说我买了一个看涨期权，但是行权日股价 S 低于 K，那么这个期权就没有价值）。
- 如果行权了，那么我们的（期望）收益到底能有多少（比如行权价是 100，在行权日股价是 110，那么每股我们能赚 10 块；而如果股价是 120，则每股我们能赚 20 块）。
这两个不确定性恰恰就对应着由 BS 定价公式中的 N(d_1) 和 N(d_2)。
以看涨期权为例来解释这一点。在 BS 公式中，N 代表了标准正态分布的累积密度函数，因此 N(d_1) 和 N(d_2) 就代表两个概率。其中，N(d_2) 正是在风险中性世界中期权被行权的概率，即 prob(S(T) > K)。因此 C 公式中的第二项 Ke^(-rT)N(d_2) 就是在当前时点、考虑了行权概率后的行权费的期望（即为了在T购买股票所需的期望成本）。
至于 N(d_1)，对于它的理解远没有 N(d_2) 直观。先抛开 N(d_1) 不说，而来看看 C 公式中的第一项。由于第二项代表着期望成本，那么第一项必然代表着行权得到股票的期望收益。由于只有 S(T) 大于 K 才会行权，因此在行权的条件下，股票在行权时的期望价值是一个条件期望，即 E[S(T) | S(T) > K]。用这个条件期望乘以行权的概率 N(d_2) 再把它折现到今天（乘以 e^(-rT)）就应该是 C 公式中的第一项。因此有：
将 S(0) 替换为 e^(-rT)E[S(T)] 并带入上式可知：
由于 E[S(T) | S(T) > K] > E[S(T)]，因此 N(d_1) > N(d_2)（这从 d_1 大于 d_2 且 N 是单调增函数也可以验证）。根据这个关系，我们可以把 N(d_1) 理解为风险中性世界中、按照股票价格加权的行权概率。这是因为和固定的行权成本 K 不同（K 是独立于股价 S 的），收益和股价之间不是独立的。
N(d_1) 在数学上还有另外的解释，它是“以股票波动率 σ 为市场风险定价，并在以股票为计价单位时，期权被行权的概率”。如果你觉着这句话是天书也没有任何问题，因为要解释它需要涉及到测度变换、等价鞅、以及计价单位变换等高深的数学知识。这些显然超出本文的范畴。
如果我们使用 C 的公式对 S 求偏导数，那么不难发现 N(d_1) 恰恰等于 ∂C/∂S。因此在现实中，投资者把 N(d_1) 理解为看欧式涨期权价格 C 对标的股票价格 S 的变化的敏感程度。
看到这里，也许你会发问：BS 定价公式仅仅给出了一个基于各种严格假设的理论价格，它在现实中到底有没有用？真的会有人因为理论价格和实际交易价格不同来构建策略并且赚钱吗？
BS 定价公式的核心价值在于它构建了一个数学模型，以此我们可以求出期权的各种风险敞口，这对于将期权（或任何衍生品）作为配置资产的投资者至关重要。由 BS 公式出发可以方便的求出期权价格对标的资产、时间、利率、波动率的偏导数，从而确定期权在这些因素上的风险敞口。在投资中，常用的风险敞口有五类（通常用希腊字母来表示），它们是：
