比如上图的曲线AB，这是随手画的很一般的一条曲线，不是什么特殊的圆弧，你要怎么求它的长度呢？
数学家们是这么考虑的：我在曲线AB之间取一些点，比如P1、P2、P3，然后这三个点就把这段圆弧的分成了四个部分。我们用线段把这几个点连起来，这样我们就得到了一条折线，这时候我们就用折线的长度（也就是这四条线段的和AP1 P1P2 P2P3 P3B）来近似代替曲线AB的长度。
当然，你肯定会说，曲线的长度明显比这四条线段加起来更长啊，你怎么能用折线的长度来代替曲线呢？
是的，如果你只在AB之间取三个点，那么曲线AB的长度肯定要比折线的长度多很多，这样近似的误差很大。但是，如果我再多取一些点呢？
我在AB之间取十个、一百个甚至一千一万个点，那么，这成千上万条线段组成的折线的总长度跟曲线AB比呢？当然，还是会短一些，但是，你可以想象，这时候这些折线已经跟曲线AB非常接近了。
如果一根1米长的曲线被你分成了1万条线段，这时候你用肉眼根本分辨不出来这是原来的曲线还是折线。但是你内心还是知道折线要短一些，那么接下来就是重点了：如果我在曲线AB之间放无穷多个点呢？
无穷是一个很迷人，同时也很迷惑人的词汇。从上面的分析我们知道：当我们在曲线AB里放越多的点，这些小线段连起来的折线就越接近曲线AB本身。那么，当我们放了无穷多个点的时候，这无穷多个线段组成的折线是不是就应该等于曲线AB的长度了？
答案是肯定的，而这，就是微积分最朴素也是最核心的思想。
在这种思想的指导下，我们要求任意曲线的距离，最终还是要求小线段的距离，因为无穷多个小线段累加起来的长度就是曲线的长度。
因此，我们只要知道如何求无穷小的线段的长度，我们就能用微积分的思想求出任意曲线的长度，我们把这个最基本小线段称为曲线的一个元段长，记做dl。
在欧式几何里，我们把基本元段dl在坐标系里分解一下，用dx和dy表示dl在x轴和y轴上的分量，那么根据勾股定理就有dl²=dx² dy²，我们就把dl²称之为线元。
提炼出了线元这个概念以后，我们就可以开始反推了。在任何一种几何里，如果我们确定了线元，就等于知道了元段dl的长度，然后就可以利用上面微积分的思想求任意一段曲线的长度。
那么，接下来，我们会发现几何里的其他性质都可以按照这些定义。
比如，我们就可以把两点之间的距离定义为这两点之间所有可能的曲线里最短的一条，把两条直线的夹角定义为弧长和半径的比值（想象在一个圆里，半径固定，弧长越大角度越大），其他什么面积、体积之类的几何性质就都可以根据这些基本性质来定义。
最后，你会发现只要给定了一个线元，我们就能把它所有的几何性质都确定下来，也就是说：线元决定几何。
那么，什么是欧式几何呢？欧式几何就是由欧式线元（dl²=dx² dy²）决定的几何。
非欧几何呢？只要你的线元不是欧式线元，那么这个线元决定的几何就是非欧几何。
用这种新线元，我们一样可以定义出在这种新几何里的曲线长度、两点的距离、线的夹角等等几何性质。
那么，闵氏几何是什么？闵氏几何的线元又是什么呢？
答：很显然，闵氏几何就是由闵氏线元决定的几何。闵氏线元是这样的ds²=-dt² dx² dy² dz²，如果只考虑二维闵氏几何的话，那么ds²=-dt² dx²。
闵氏线元（ds²=-dt² dx²）跟欧式线元（dl²=dx² dy²）十分相像，它们之间唯一的差别就在于闵氏线元的第一个分量dt²的前面是负号，而欧式线元全部都是正号。
也因为如此，闵氏几何跟欧式几何也非常像，所以闵氏几何还有一个称呼，叫伪欧几何。
但是，我们也要特别注意这个负号，正是这个负号，决定了闵氏几何和我们熟悉的欧式几何里所有不一样的地方，而这些不一样，恰恰是我们通过闵氏几何来理解狭义相对论的关键。
06闵氏几何与狭义相对论
我们现在知道了，所谓的闵氏几何，不过是由闵氏线元ds²=-dt² dx² dy² dz²决定的几何。
在这种几何里面，曲线的长度、两点的距离、线的夹角等一切性质都有这个第一项带了一个负号的闵氏线元决定。
看看这个闵氏线元ds²=-dt² dx² dy² dz²，再看看我们最开始提到的那个在狭义相对论里不随惯性系的变化而变化的量Δs²=Δx² Δy² Δz²-（Δt×c）²，是不是非常像？
在相对论里有两种单位制：国际单位制和几何单位制。国际单位制就是我们平常熟悉的那一套单位制，几何单位制就是选择光速c=1，这样可以大大简化在用几何处理相对论问题的难度。
采用几何单位制的话，不随惯性系变化的Δs²=Δx² Δy² Δz²-Δt²，这就真的跟闵氏线元ds²=-dt² dx² dy² dz²一模一样了。
这就是为什么我们要用闵氏几何，而不是欧式几何来描述狭义相对论的根本原因。
在牛顿的世界里，时间是绝对的，三维的空间也是绝对的，一根木棒在三维空间里随便怎么变换，随便怎么变换参考系，它在三维空间里的长度是一定的，这个是跟三维的欧式线元对应的（因为三维的欧式线元dt² dx² dy²也不随坐标系的变化而变化）。
但是，在狭义相对论里，空间不再是绝对的，不再是一成不变的，我们熟悉的尺缩效应不就是说从不同的惯性系里观测同一把尺子，这个尺子的长度是不一样的么？这就是说空间上的“长度”在狭义相对论的不同惯性系里不再是不变量。
但是，我们发现如果把时间也考虑进来，把三维空间和一维时间一起组合成四维时空，那么这个四维时空里的间隔Δs²=Δx² Δy² Δz²-Δt²就是不随惯性系的变化而变化的量（这个在前面说过，用洛伦兹变换可以非常方便的证明）。
