学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.理解集合之间的包含与相等的含义.(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.(难点、易混点) 3.在具体情境中,了解空集的含义.(难点) | 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解,培养数学抽象素养. 2.借助子集和真子集的求解,培养数学运算素养. |
1.Venn图的优点及其表示
(1)优点:形象直观.
(2)表示:通常用封闭曲线的内部代表集合.
2.子集、真子集、集合相等的相关概念
思考1:(1)任何两个集合之间是否有包含关系?
(2)符号“∈”与“⊆”有何不同?
提示:(1)不一定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},这两个集合就没有包含关系.
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系;
而“⊆”表示集合与集合之间的关系.
3.空集
(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.
(2)规定:空集是任何集合的子集.
思考2:{0}与∅相同吗?
提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而∅表示空集,其不含有任何元素,故{0}≠∅.
4.集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.
(2)对于集合A,B,C,
①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;
②若A
B,B
C,则A
C.
(3)若A⊆B,A≠B,则A
B.
1.设集合M={1,2,3},N={1},则下列关系正确的是( )
A.N∈M B.N∉M
C.N⊇M D.N⊆M
D [∵1∈{1,2,3},∴1∈M,
又2∉N,∴N⊆M.]
2.下列四个集合中,是空集的为( )
A.{0}
B.{x|x>8,且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0}
D.{x|x>4}
B [满足x>8且x<5的实数不存在,故{x|x>8,且x<5}=∅.]
3.集合{0,1}的子集有________个.
4 [集合{0,1}的子集有∅,{0},{1},{0,1},共4个.]
4.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当的符号填空:
(1)A________B;(2)A________C;
(3){2}________C;(4)2________C.
(1)= (2)
(3)
(4)∈ [集合A为方程x2-3x+2=0的解集,即A={1,2},而C={x|x<8,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6,7}.故(1)A=B;(2)A
C;(3){2}
C;(4)2∈C.]
集合间关系的判断
【例1】 判断下列各组中集合之间的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
(2)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是四边形},D={x|x是正方形};
(3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}.
[解] (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A
B.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示,从而D
B
A
C.
(3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在元素,如-2∈B,但-2∉A,故A
B.
判断集合关系的方法.
(1)观察法:一一列举观察.
(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
(3)数形结合法:利用数轴或Venn图.
提醒:若A⊆B和A
B同时成立,则A
B更能准确表达集合A,B之间的关系.
1.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是( )
B [解x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N
M,其对应的Venn图如选项B所示.]
子集、真子集的个数问题
【例2】 已知集合M满足:{1,2}
M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.
[解] 由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下:
含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};
含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};
含有5个元素:{1,2,3,4,5}.
故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
1.求集合子集、真子集个数的3个步骤
2.与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素,则有
(1)A的子集的个数有2n个.
(2)A的非空子集的个数有2n-1个.
(3)A的真子集的个数有2n-1个.
(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.
2.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集.
[解] ∵A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
∴A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
∴A的子集有∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
A的真子集有∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}.
,
由集合间的关系求参数
[探究问题]
集合A={x|1<x<b}中一定含有元素吗?当A中含有元素时,试用数轴表示其所包含的元素.
提示:不一定.当b≤1时,A=∅,其不含有任何元素,当b>1时,集合A中的元素用数轴可表示为:
【例3】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B
A,求实数m的取值范围.
[思路点拨]
分B=∅和B≠∅结合数轴―→
[解] (1)当B=∅时,
由m+1>2m-1,得m<2.
(2)当B≠∅时,如图所示.
∴或
解这两个不等式组,得2≤m≤3.
综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}.
1.若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求m的取值范围.
[解] (1)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2.
(2)当B≠∅时,如图所示,
∴解得即2≤m<3,
综上可得,m的取值范围是{m|m<3}.
2.若本例条件“B
A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求m的取值范围.
[解] 当A⊆B时,如图所示,此时B≠∅.
∴即∴m不存在.
即不存在实数m使A⊆B.
1.利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.
(2)空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.
2.数学素养的建立
通过本例尝试建立数形结合的思想意识,以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题.
1.A⊆B隐含着A=B和A
B两种关系.
2.求集合的子集时,可按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.
3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点:①不能忽视集合为∅的情形;
②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.
1.思考辨析
(1)空集中只有元素0,而无其余元素.( )
(2)任何一个集合都有子集.( )
(3)若A=B,则A⊆B或B⊆A.( )
(4)空集是任何集合的真子集.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是( )
A.16 B.8
C.7 D.4
C [易知集合A={0,1,2},含有3个元素,∴A的真子集有23-1=7个.]
3.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.
4 [由B⊆A可知,m=4.]
4.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若A
B,求a的取值范围;
(2)若B⊆A,求a的取值范围.
[解] (1)若A
B,则集合A中的元素都在集合B中,且B中有不在A中的元素,则a>2.
(2)若B⊆A,则集合B中的元素都在集合A中,则a≤2.
因为a≥1,
所以1≤a≤2.