(1)弹簧的劲度系数k;
(2)弹簧为原长时,小球的角速度ω0;
(3)当杆的角速度ω=时弹簧的长度L'。深度解析
题组三 圆周运动的临界问题
6.(2020北京四中高三上期中)(多选)如图,放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起绕转台中心以角速度ω匀速转动而不发生相对滑动。已知A、B、C的质量均为m,A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ,A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(深度解析)
A.B对A的摩擦力一定为μmg
B.B对A的摩擦力一定为mω2r
C.转台的角速度必须满足ω≤
D.转台的角速度必须满足ω≤
7.(2020福建南侨中学高三上段考)(多选)质量为m的小球用不可伸长的细线a、b分别系在轻质细杆的A、B两点,如图所示,细线a与水平方向的夹角为θ,细线b在水平方向上且长为L。当轻杆绕其轴线以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,则下列说法中正确的是( )
A.细线a一定受到小球的拉力
B.细线b一定受到小球的拉力
C.只有当角速度ω>时,细线b才受到拉力
D.细线a中的拉力随角速度的增大而增大
答案全解全析
基础过关练
1.B 物体做圆周运动需要向心力,向心力是外界提供的,而不是物体本身产生的,所以A项错误;向心力始终与速度方向垂直,只改变速度的方向,而不改变速度的大小,B项正确,D项错误;力是矢量,既有大小,又有方向,向心力始终指向圆心,方向时刻改变,是变力,所以C项错误。
2.C 因为有向心力,物体才做圆周运动,A错误;向心力是按作用效果命名的,与重力、弹力、摩擦力等性质力不一样,故B错误;向心力可以是重力、弹力、摩擦力等力中某一种力,也可以是某一个力的分力,或者是这些力中某几个力的合力,故C正确;向心力只能改变物体运动的方向,不能改变物体运动的快慢,故D错误。
3.答案 (1)B (2)2∶1
解析 (1)向心力的大小和三个因素有关,所以需要控制其中的两个因素不变,改变第三个因素,从而来研究向心力和三个因素的关系,故采用了控制变量法,B正确。
(2)设皮带连接的左右两塔轮的半径分别为r1和r2,左右塔轮转动的角速度分别为ω1和ω2,A、C到塔轮中心的距离为r,A、C处的两个小球的向心力大小分别为F1和F2。
根据题意可知,F1∶F2=1∶4;根据F=mω2r,由于m、r相等,有F1∶F2=∶,可得ω1∶ω2=1∶2。左右塔轮通过皮带连接,塔轮边缘各点的线速度大小相等,由v=ωr得r1∶r2=ω2∶ω1=2∶1。
4.C 雪橇运动时所受的摩擦力为滑动摩擦力,其方向与雪橇运动方向相反,可知与圆弧相切;又因为雪橇做匀速圆周运动,所受合力充当向心力,合力方向指向圆心,故C正确。
5.CD 小球仅受重力和绳的拉力作用,向心力是指向圆心方向的合力,因此,它既是小球所受合力沿绳方向的分力,也是各力沿绳方向的分力的合力,故选项C、D正确。
6.B 水平路面对轿车的弹力方向竖直向上,故A错误;在竖直方向重力和支持力相互平衡,轿车做圆周运动靠水平路面对车轮的静摩擦力提供向心力,轿车受到的重力、支持力和摩擦力的合力不为零,故B正确,C、D错误。
易错警示
本题考查向心力的来源。对向心力的理解要注意以下两点:①向心力不是性质力,可以由某个力来提供,也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供;②只有做匀速圆周运动的物体所受合力才等于向心力。
7.D 物块在最高点和最低点时,合力指向圆心,合力沿竖直方向,水平方向的合力为零,摩擦力为零,重力和支持力的合力提供向心力;在其他位置时,合力指向圆心,合力的水平分量不为零,而物块在水平方向只可能受摩擦力,因此摩擦力不为零,即物块在其他位置受重力、支持力和摩擦力三个力作用,故A项错误。物块做匀速圆周运动,在任意位置受到的合外力均指向圆心,故B项错误。从a到b,物块水平方向的速度先增大后减小,所以摩擦力方向先向左后向右,即物块所受的摩擦力方向发生变化,故C项错误。从b到a,物块加速度的水平分量先减小后增大,而物块在水平方向只受摩擦力,所以摩擦力先减小后增大,故D项正确。
8.BC 悬线碰到钉子前后,悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直,小球的线速度大小不变,故A错误;悬线碰到钉子后,小球的运动半径减小为原来的一半,线速度大小不变,由ω=知角速度变为原来的2倍,由Fn=可知向心力变为原来的2倍,故B、C对,D错。
9.C 小物块做匀速圆周运动,受重力、支持力和竖直向上的静摩擦力,支持力提供向心力,静摩擦力与重力平衡,根据牛顿第二定律,水平方向有F=mω2r,在竖直方向f=mg。当角速度ω加倍后,支持力变为原来的4倍,静摩擦力不变,故A、B、D错误,C正确。
10.BD 由于座舱做匀速圆周运动,由公式ω=,解得T=,故A错误;由圆周运动的线速度与角速度的关系可知v=ωR,故B正确;由于座舱做匀速圆周运动,故座舱所受摩天轮的作用力是变力,不可能始终为mg,故C错误;由做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力,可得F合=mω2R,故D正确。
11.C 土豆做匀速圆周运动,受重力和其他土豆对它的作用力,合力提供向心力,将其他土豆对该土豆的作用力F沿水平方向和竖直方向分解,根据牛顿第二定律和向心力公式,在水平方向有Fx=mω2R,在竖直方向有Fy=mg,所以其他土豆对该土豆的作用力为F==,故C正确。
12.C 甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同,向心力大小都等于弹簧测力计的弹力,有m甲ω2r甲=m乙ω2r乙,即m甲r甲=m乙r乙,且r甲 r乙=0.9 m,m甲=80 kg,m乙=40 kg,解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m;由于F=m甲ω2r甲,所以ω== rad/s≈0.62 rad/s;线速度v=ωr,甲、乙的角速度相同,r甲与r乙不相等,v不相等。故A、B、D错误,C正确。
13.AC 小孩在最高点时,速度为零,受重力和绳的拉力,合力沿着圆周的切线方向,绳子的拉力大小等于重力沿绳方向的分力大小,小于重力;在最低点时,小孩受到的绳子的拉力与重力的合力提供向心力,所以绳子的拉力大于重力。因此在小孩离开最高点向最低点运动的过程中,绳子的拉力逐渐增大,故A正确,B错误。在离开最高点向最低点运动的过程中,小孩的速度增大,合外力的一个分力指向圆心,提供向心力,另一个分力沿着圆周的切线方向,使小孩速度增大,所以小孩经题图所示位置时,加速度方向可能沿图中的a方向,故C正确,D错误。
14.BC 由于小球所受的拉力始终与其速度方向垂直,不改变速度大小,故A错误;由v=ωr可知,v不变,r变大,则角速度ω变小,故B正确;小球的向心力Fn=m,v不变,r变大,则向心力变小,故C正确;细绳对小球的拉力F=m,v不变,r变大,则F变小,故D错误。
能力提升练
1.答案 (1) (2) mr
解析 (1)挡光杆通过光电门时的线速度v=;由ω=,解得ω=。
(2)根据向心力公式有F=mω2r,将ω=代入上式解得F=mr,可以看出,以为横坐标,可在坐标纸中描出数据点作一条直线,该直线的斜率为k=mr。
2.答案 (1)①C ②mr ③B (2)ABC (3)见解析
解析 (1)①小球做匀速圆周运动所需的向心力由小球所受重力和细线拉力的合力提供,故C正确。
②小球所受的向心力大小Fn=mω2r=mr=mr=mr。设细线与竖直方向的夹角为θ,小球所受的合力大小F=mg tan θ=mg。
③根据Fn=F可得mr=mg,进一步推导得t2=h,可知图像B合理。
(2)相同体积的小球,选择密度大一些的可以减小空气阻力对实验的影响,选项A正确;相同质量的小球,选择体积小一些的有利于确定其圆周运动的半径,选项B正确;测量多个周期的总时间再求周期的平均值,有利于减小周期测量的偶然误差,选项C正确;由③的分析可知,在这个实验中没有必要测量出小球的质量,选项D错误。
(3)设小球做半径为r的匀速圆周运动的周期为T,此时小球距细线上端固定点的竖直高度为h,根据小球的受力和向心力公式,有=mr,解得T=2π,因运动半径变小,细线长度不变,故h变大,所以小球做圆周运动的周期变大。
3.C 做圆周运动的小球只受到重力和细线的拉力,向心力是效果力,不是小球实际受的力,故A错误;小球做匀速圆周运动的周期为T=,则向心力大小为Fn=mr=mr,故B错误;设细线与竖直方向的夹角为θ,有F合=mg tan θ,由几何关系可得tan θ=,故F合=mg,故C正确;根据重力和细线拉力的合力提供向心力,有F合=Fn,即mg=mr,可知小球转动得越快,周期T越小,h越小,则细线与竖直方向的夹角越大,故D错误。
4.B 根据题意可得m2g=m1rω2,得r=·,可知r与成正比,故r与ω2成反比,选项A错误,B正确;由r=·可得=·ω2,则与ω2成正比,选项C、D错误。
5.答案 (1) (2) (3)3L
解析 (1)杆处于静止状态时,对小球受力分析,由平衡条件得mg·sin 37°=k×(L-0.5L),解得弹簧的劲度系数k=。
(2)当弹簧处于原长时,弹簧弹力为零,小球只受重力和杆的支持力,它们的合力提供向心力,有mg tan 37°=mL cos 37°,解得ω0==。
(3)当ω=>ω0时,弹簧处于伸长状态,设弹簧伸长量为x,则
在竖直方向有FN cos 37°-kx sin 37°=mg
在水平方向有FN sin 37° kx cos 37°=mω2(L x) cos 37°
解得x=2L
所以弹簧长度L'=3L。
导师点睛
本题考查水平面内圆周运动问题的分析与计算。解决这类问题的关键是正确对物体受力分析,将各力沿水平方向和竖直方向分解:(1)竖直方向的合力为零;(2)水平方向的合力提供向心力。
6.BD B对A的摩擦力提供A物体做圆周运动的向心力,即fBA=mω2r,但B对A的摩擦力不一定等于最大静摩擦力,即不一定等于μmg,选项A错误,B正确。对C即将发生相对滑动时的临界状态进行分析,有μmg=m·1.5r,可知C与转台发生相对滑动的最小角速度ωC==;对A、B整体分析,有μ·2mg=2mr,解得B与转台发生相对滑动的最小角速度ωAB=;对A分析,有μmg=mr,解得A与B发生相对滑动的最小角速度ωA=。综上可知,若要A、B、C与转台保持相对静止,转台的角速度一定要满足ω≤,选项C错误,D正确。
导师点睛
本题考查水平面内圆周运动的临界条件。水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与转盘间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
7.AC 小球在水平面内做匀速圆周运动,在竖直方向上的合力为零,水平方向上的合力提供向心力,所以细线a对小球的拉力在竖直方向上的分力与小球的重力平衡,可知细线a对小球的拉力不可能为零,选项A正确。当细线b的拉力恰好为零时,有=mL,得出ω0=,可知当角速度ω>时,细线b上的张力不为零,故选项B错误,C正确。根据小球在竖直方向上受力平衡,可得Fa sin θ=mg,故Fa=,可知细线a的拉力不随角速度的增大而增大,故选项D错误。
