图八
的值，结果近似等于1/e。这是巧合还是有意为之，我们很难判断，但纳皮尔的这一记录的确引起了数学家们的注意，尤其是伯努利家族。
二、自然常数e变得重要起来伯努利家族以"盛产"物理学家、数学家而闻名，约翰·伯努利和雅克比·伯努利两兄弟都是伯努利家族中最著名的一员。雅克比·伯努利第一次把e看成常数，并试图计算。
图九
莱布尼茨在1690-1691之间给惠更斯的通信中第一次用到这个常数，并用b表示。
1691年6月，《教师学报》同时发表了三位数学家（惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利），关于"悬链线"问题的解答，这样一个表达式用到了自然常数e。
图十
同时，17世纪的一个关于对数的重要发现更是使得自然对数e走到了数学的前沿。
1647年，比利时数学家圣·文森特(Gregoire de Saint-Vincent)利用费马的方法，在对直角双曲线y=1/x求积时，发现"当长方形的长宽形成几何级数时，这些长方形的面积相等"。
图十一
文森特的这个结论换一种说法为：
曲线y=1/x下的矩形面积，在区间[a,b]和[c,d]上，分别为m,n.
若a/b=c/d ,则m=n.
根据这个结论，如下图，设y=1/x下矩形在区间(1, a)，(a,b)，(b,ab)上的面积分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ. 由于 a/1=ab/b ，则Ⅰ=Ⅲ。当a→b时，y=1/x的图像与x轴在(1, a)与(b,ab)上围成的曲边梯形的面积也相等。记为Ⅰ*=Ⅲ*。因此y=1/x的图像与x轴在(1, a)及(1,b)上围成的曲边梯形的面积等于在(1,ab)上围成的曲边梯形的面积，其值均为：2Ⅰ* Ⅱ* 。
