中考几何压轴 114 几何与函数 面积计算的补偿技术
这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。
题 121. 《二次函数·面积差的最值》
如图1，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c过点A(1,0)，B(-3,0)，C是抛物线的顶点。
[1]. 求抛物线解析式；
[2]. 设点D是x轴上一点，当 tan (∠CAO＋∠CDO) ＝4时，求点D的坐标；
[3]. 如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，记△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值。
〖一般性提点〗
[1]. 本题第二问关键之一，是将
tan (∠CAO＋∠CDO) ＝4
转化为角度关系。
为此需要找到Rt三角形，使其一锐角的正切值＝4；
通过三角形相似，先求线段长，然后转化为点D的坐标；
[2]. 面积差的最值，可设所求点坐标（参数），分别计算各相关面积，得到含参数表达式，基于最值这个条件，求得对应参数值。
！！！在计算面积的时候，利用补偿法，简化计算，这是本题第三问的技巧。
所谓的补偿法，是将不规则三角形转化为一些较规则三角形面积的计算。
〖题目分析〗
[1]. y＝－x²－2x＋3
[2]. 求点D的坐标
依题意，设D(t,0)；记对称轴与x轴交点为H，易知H(-1,0)；
连接AC、OC，见图，因为tan (∠COH) ＝4，而 ∠CAO＋∠ACO＝∠COH
即tan (∠CAO＋∠ACO) ＝4
连接CD，上式与题设tan (∠CAO＋∠CDO) ＝4比较，可知：∠CDO＝∠ACO；
<1>. 当t＞0时，易知△ACO和△CDO构成母子相似三角形：
DO/CO＝CO/AO
CO＝√17，AO＝1，代入上式解得：t＝17；D(17,0);
<2>. 同理，当t＜0时，则易证△ACO和△CDA构成母子相似三角形：
DA/AC＝AC/AO
AC＝√20，DA＝1-t，AO＝1，代入上得： t＝－19；D(-19,0)。
[3]. 求面积差最大值
设P(t，－t²－2t＋3)简记作P(t，－f(t)),进一步简记作P(t,-f)；
PA直线：y＝(f/(1-t))(x-1)。
面积分析（补偿法）：
m－n＝S(△BMP)－S(△EMN)
＝S(△BAP)－S(△EBO)－S(△NAO)
点N在PA直线是，且x(N)＝0，代入PA直线方程解得y(N)＝-f/(1-t)；
S(△BAP)＝-f·AB/2＝-2f；
S(△EBO)＝9/2；
S(△NAO)＝-f/[2(1-t)];
所以
m－n＝-2f－9/2＋f/[2(1-t)]
注意其中
f＝t²＋2t－3＝(t＋3)(t－1)，得：
m－n＝－2 t²－(9/2)t
所以当t＝－9/8时，m－n取得最大值＝81/32.
