那么,如果是1,2,3,4,四个数相乘,我们也可以考虑,对于每一个1,2,3形成的式子
比如(1×2)×3
将4乘到每一个数左右,得到6个
将4乘到整个式子前,得到1个
将4乘到整个式子后,得到1个
也就是得到8个,于是
思路正确的,遗憾的是,上述过程有点问题。
按照上述过程,(1×2)×3可以变出8个
((4×1)×2)×3,((1×4)×2)×3,(1×(4×2))×3,
(1×(2×4))×3,(1×2)×(4×3),(1×2)×(3×4)
4×((1×2)×3),((1×2)×3)×4
检查一下很容易发现,漏掉了两个
(4×(1×2))×3,((1×2)×4)×3
我们需要重新解释从2到3的过程
只有1,2两个数组成的积,可以看成1个乘积,将3加到这个乘积的两端,每一端都可以左乘,也可以右乘,因此一个乘积变成4个。再加上左乘全部,和右乘全部,一共6个。
即1×2是一个乘积,3可以左右加到乘积的两端
(1×3)×2,(3×1)×2,1×(3×2),1×(2×3)
左乘全部,即3×(1×2)
右乘全部,即(1×2)×3
因此
用这个递推来看待从3到4,
对于1,2,3的每一个乘积,如(1×2)×3,有2个乘法,
将4乘到每一个乘法的两端,都可以左乘也可以右乘,即4×2种方法
((4×1)×2)×3,((1×4)×2)×3,(1×(4×2))×3,(1×(2×4))×3,
(4×(1×2))×3,((1×2)×4)×3,(1×2)×(4×3),(1×2)×(3×4)
将4左乘全部,右乘全部,又得到2个
4×((1×2)×3),((1×2)×3)×4
即
搞清楚了前面几个简单的和复杂的,我们就可以推到一般的。
对于1,2,3…n-1,有n-2个乘积,可以将n乘到每一个乘积的两端,每一端都可以左乘也可以右乘;还可以左乘全部,也可以右乘全部。
即