这个时候研究f(s)就等于是在研究2，因为1的部分和3的部分完全抵消掉了。
更广义的来说，如果我们想研究所有的正整数，那么只要我们搞清楚函数
的一切性质，那么我们就搞清楚了全部的正整数。通过调整不同的s的值，我们就可以得到各种各样的抵消。
四、黎曼猜想
黎曼定义了一个ζ函数（念zeta）：
这基本上和我们之前定义的差不多，只是差了一个负号。（黎曼定义这个负号，是因为希望s越大收敛性质越好。）这里面s可以取各种各样的复数，而对应的这个函数的值可能是无穷，可能是0，也可能是某个其他的复数。
黎曼猜想宣称，如果ζ(s)=0，那么s的实数部分一定是1/2。换句话说，s一定是1/2 b·i 的样子。
但是为什么我们要在乎ζ(s)=0的值呢？
一般来说，我们调整各种各样的s的值的时候，ζ(s)里面合数的部分往往随随便便就被质数的部分“吸收”了，而质数和质数的幂相对来说就很却难被消掉，往往会残留下来。那么如果你恰好发现，对于某个s，ζ(s)居然等于0，也就是说质数也都消光了。这就说明质数里面必然存在的某种针对这个s的结构。可以这样想，一般来说，我们每找到ζ(s)的一个根，就等于找到了一个质数里面的规律。
而一般来说，不妨这样认为：一个根s的实数部分是1/2时，这对应的往往是最“没用”的规律。一个根s的实数部分离1/2如果很遥远，就意味着质数存在某种惊人的巨大的结构性。（按照陶哲轩的话说，说明所有的质数们都一起针对这个s的值存在着某种惊天的阴谋！）所以黎曼猜想等于是在说，质数最大的规律，就是没有什么突出的规律。这样看来，黎曼猜想是一种悲观论调。
那么，如果黎曼猜想是正确的，那么说明质数是没有惊天的结构的，是几乎均匀的随机的。这等于说，我们进一步验证了“质数其实是按照n/ln(n)来进行随机均匀分布的”这个数学直觉。学过概率统计的同学可能知道，随机数往往符合大数定理。黎曼猜想正确的一个明显的后果就是，质数不仅仅似乎是按照n/ln(n)的概率均匀分布，而且还符合大数定理！而大数定理对于随机数的研究是至关重要的。同理，黎曼猜想对于质数的研究也是至关重要的。
因此，不出意外的，如果黎曼猜想是正确的，那么无数个我们对数论的猜想和直觉都会得到验证。
五、黎曼猜想错了，天会不会塌？
如果能够找到黎曼猜想的反例，那么反而是一个天大的喜事！为什么？因为一旦我们找到了一个ζ(s)=0的根，且s的实数部分远离了1/2，这就说明我们找到了一个关于质数的极其重要的规律！（发现了质数们的惊天阴谋！）这个规律很可能会我们对数的研究和认识带来惊天动地的飞跃。
恰恰是，如果黎曼猜想被证明了，反而无关紧要。大家早就猜测黎曼猜想是正确的了，很多数学家早就已经在假设黎曼猜想正确的前提下，继续往前研究了。所以如果有人证明黎曼猜想是正确的，这只不过是验证了我们一直以来都没错而已，却并不能够带来进步。
事实上，这有一个更有趣的现象。有很多的数学定理，比如说Littlewood定理，居然是这样证明的：
1）假设黎曼猜想是正确的。那么质数具有非常美好的宏观均匀性。那么运用美好的宏观均匀性，证明了Littlewood定理。（Littlewood定理在这部分大概用了12页。）
2）假设黎曼猜想是错误的。那么黎曼猜想的反例就会给出一种质数之间的惊人的结构。这种结构甚至可以让你一步登天，直接证明Littlewood定理。（Littlewood定理在这部分大概只用了半页。）
3）所以说，无论黎曼定理是对的还是错的，反正Littlewood定理都是对的。证明完毕。
另外，大家可以看到，黎曼定理错误的时候，往往是证明更简洁更方便的时候！
总结一下，哪怕我们永远也不会知道黎曼猜想的对错，仅仅是黎曼猜想这个概念，就已经对数学产生了很大的推进作用。这就好像梦想一样，无论能否实现，都能让我们成为更好的人。
本文来自*果壳（ID：Guokr42），作者： Yilong（群论研究公众号，清华大学丘成桐数学中心助理教授，UCLA数学PhD）。
