成考专升本：二阶常系数线性微分方程的考点！
若函数y₁,y₂为该方程两个线性无关的解，即y₁≠ky₂，则该方程的通解为y=C₁y₁ C₂y₂.
考点2 二阶常系数线性非齐次方程y” py' qy=f(z)解的结构
若y*为方程y” py' qy=f(x)的一个特解，ӯ=C₁y₁ C₂y₂为与其对应的齐次方程y” py' qy=0的通解，则y* y为方程y” py' qy=f(x)的通解.
若y₁是方程y” py' qy=f1(x)的解，y₂是方程y” py' qy=f₂(x)的解，则y₁十y₂是方程y” py' qy=f₁(x) f₂(x)的解.
考点3 二阶常系数线性齐次方程y” py' qy=0通解的求法
先写出与其对应的特征方程r² pr q=0.
1.若特征方程有两个不等实根r₁,r₂，则齐次方程的通解为ӯ=C₁eʳ1ˣ” C₂er₂x.
2.若特征方程有一重根r，则齐次方程的通解为ӯ=(C₁x C₂)eʳˣ.
3.若特征方程无实根，或者说有一对共轭复根r₁=α iβ，r₂=α-iβ，则齐次方程的通解为ӯ=eᵃˣ(C₁cosβx C₂sinβx) .
考点4 二阶常系数线性非齐次方程y” py' qy=f(x)通解的求法
1.先求出与其对应的齐次方程y” py' qy=0的通解y.
2.再求出非齐次方程的特解y*，则该方程的通解为y=ӯ y*.
3.特解y*的求法
(1) 若f(x) =Pn(x) eᵃˣ， 则方程的特解可设为y*=xӯᴷQn(x) eᵃˣ，其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，系数待定，且
k=0,α不是特征根，
k=1,α为单独特征根，
k=2,α为二重特征根.
(2) 若f(x)=eᵃˣ(Acosβx Bsinβx)，则方程的特解可设为y*=xᴷeᵃˣ(A₁cosβx B₁sinβx)。其中A₁，B₁为待定系数，且
k=0,a iβ不是特征根，
k=1,a iβ是特征根.
解题指导
二阶常系数线性微分方程的求解方法：
第一步：首先判断方程类型是否为二阶常系数线性微分方程.
第二步：若是，看是齐次，还是非齐次.
1.若是齐次的，应先写出特征方程：r² pr q=0，然后求特征根，由特征根构造方程的通解.
2.若是非齐次的，应先求出其对应的齐次方程的通解，然后构造非齐次方程的特解，最后由解的结构得到原非齐次方程的通解.
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