思考佐实践得真知
——“大圆小圆”及《河中石兽》给我们的启示
吴国才 安徽省桐城市孔城初中高级教师
一个好同事在安庆参加骨干教师培训时，听专家说了一个有意思且很奇怪的问题：
“大圆半径是小圆半径的3倍，小圆在大圆外面和里面绕大圆滚动一周各须滚动几圈？”
好同事说给我听时，我想：不就是比大小圆周长，而大小圆周长之比等于半径之比，所以不就是3倍关系，不就是3圈。我确定地说：“3圈”。她打趣地说：“可确定，改不改？”我又仔细想了一遍：小圆滚动时，圆上的点可以与大圆一一对应，不就是比周长？而周长之比与直径、半径之比都是一样的！所以我肯定的说：“3圈，确定，不改了！”
可是好同事说不对。我十分奇怪，那答案是几圈？她说：“专家说是4圈。”我气愤地说：“瞎扯！那专家说为什么是4圈呢?”她说：“专家大概以为我们教语文的老师大多听不懂，所以没仔细解释，我也没听清，我与崔鑫在下面用手机查了一下，也都没看懂！专家说：在一次众人参加的测试中，只有一个人说是4圈，而这个人成了全美所有学校都争抢的学生，全美所有名校任他选！”“那在里面小圆要滚动几圈到原来的点呢？”好同事又问我。我说：“那要看圈的厚度，圈越厚就越少。”她说：“与厚度无关，是两圈。”我说：“当然与厚度有关，怎么可能无关，若圈厚度忽略不计，实际上内外一样，都是3圈！至于看起来外4圈内2圈，可能是视觉的问题。就像我们透过玻璃瓶看插在水中的筷子折了一样，实际上它没有折，还是直的，这与光线折射有关。又如我们放眼望去，一切物体都是正的，实际上它是倒的，这与凸透镜成像原理和眼睛构造有关，我们看到的任何物体，都是它通过眼睛（眼睛就是凸透镜）成在视网膜上的像，物体在一倍焦距以外，成的都是倒立的实像（物体在1倍焦距以内才成正立的虚像），我们看到的一切物体基本上都是在一倍焦距以外成的倒立的实像，所以原本的样子应是再倒过来。”
那“专家”到底为什么说外4圈内2圈呢？我想听听聪明人的想法，于是找物理组和数学组老师，还有方根东校长讨论！
物理组状元父（他的孩子汪宗诚是桐城市2014年中考状元）汪正海老师说：“在大圆外滚动时，小圆自转3圈公转1圈（绕大圆圆心转了1圈），一共是4圈；在大圆内滚动时，自转方向与公转方向相反，所以是两圈；如果人跟着小圆一起滚动，那都是3圈，之所以看起来是外4圈内2圈，是因为我们站在地面上不动。”此言颇令我信服！
数学组说“化曲为直”：“圆（轮子）在直线上滚动时，圆心跑的路程等于圆滚动的周长之和。反过来通过计算圆心跑的路程可以推出在外小圆滚4圈，在内小圆滚2圈。因为在外时圆心距是3倍加小圆自身1倍半径，就是4倍半径，小圆圆心跑的路程是小圆4倍周长，所以是4圈；而在内时圆心距是2倍小圆半径，小圆圆心只跑2倍小圆周长，所以是2圈。”此推理似乎很有道理！
方根东校长（与我一样也是纯应届考桐城师范，17周岁师范毕业分配工作），想了想，又画了小圆绕大圆滚动的示意图，说：“就是比周长，应该是三圈。”我非常高兴！因为与我想法不谋而合。
我又查了百度，百度上许多人说3圈，但也有人说外4圈内2圈，用的是“化曲为折”法：就是把圆切出无数的边，变成多边形，让圆去滚动，在多边形外滚动时，多滚一周，是因为多滚了外角，而多边形外角和是360度，正好是一个圆周角；在多边形内滚动时，少滚了许多角，而这些角对应的圆心角正好是一个周角。似乎也有道理！
至此，我综合别人的观点，已形成了自己的观点：实际上就是比周长，内外都是3圈，至于专家说的内4圈、外2圈，那是视觉问题。我准备把它写进我的《智慧题集》！
晚上闲而无事，我在家想滚滚看，试了多少次。结果：
每次都是内外差不多，都是3圈！根本没有外4圈、内2圈的现象！至于内外略有不同，是因为圈有厚度，内外圈半径不完全一样，而大、小圆周长之比等于半径之比。
我与孩子吴叶子、爱妻叶勤三人做了多次实验，结果都是与简单的道理一致：小园滚动的圈数等于大、小园半径（周长）之比。我不仅用了大小不同的杯、缸、盆试滚，还用长短绳做成半径分别是2倍、3倍、4倍、5倍、6倍的大、小圈试滚。结果都是一样的：小圆滚动的圈数就是大、小圆半径（周长）之比。实际上也好理解：滚动时，大、小圆上的点是一一对应的，小圆滚动的路程是小圆周长之和，也就是大圆周长。
至于汪正海说的“自转公转”、数学组说的“化曲为直”、还有网上查的“化曲为折”，似乎很有道理，但思路有断层，我知道他们错在哪儿了：大圆不动，小圆绕大圆滚动，这里没有大小圆一起绕中心的公转！圆心跑的路程等于圆滚动的路程的“化曲为直”法，在平面直线上是可以的，但这里是圆周运动是曲线运动，所以不行！致于网上的“化曲为折”在多边行中是可以的，因为多边形的外角和等于360度，就是一个圆周角，但在这里是圆对圆，点一、一对应，根本不需要化曲为折，“化曲为折”在这里是画蛇添足，也是错的！
方根东校长那天说3圈，是对的。汪正海老师说实际上只要3圈，也是对的，不愧为“状元父”！
还好，我还有一点儿反复思考、实验求证的精神！不然我将它写进《智慧题集》，不仅贻笑大方，还以讹传讹，害了他人，甚至害了子孙后代！
说到这里，应该不会有人怀疑正确答案是3圈了吧！因为道理简单，试滚容易，另外我刚刚还看到了别人书上的正确答案：那是小学六年级的一个作业题，“作业帮”里有答案，答案就是“3圈”，解析很简单：就是求大、小圆周长之比，而大、小圆周长之比通过圆周率公式一化简就是半径之比，最后得出3倍小圆周长等于大圆周长，所以小圆要滚动3圈。
至于专家所说的故事，不论真假，都不足为奇了！因为中国古代就有“指鹿为马”，外国现在有“是三说四”何足为奇！况且，据吴叶子和她同学外教所知：外国高中生数学水平相当于中国初中生，外国初中生数学水平只相当于中国小学生。我们的先贤祖冲之发现了圆周率，传到外国，外国的小学生、小孩，不一定人人都能弄懂！另外，我们都有“物以稀为贵”、“真理往往掌握在少数人手里”的观念，一个外国小孩说出与众不同的答案，被重视也属正常，不论他说的是对是错，反正与众不同，应当重视，况且又未验证，也不知道是对是错！他或许是瞎说，亦或许是故意说错，不论怎样，比千篇一律的正确答案都更能吸引别人的眼球。若故意说错，那是非常聪明的！他是用与众不同的错来吸引目光。中国三国时就有“曲有误，周郎顾”：一个非常聪明的歌女与众姐妹一起弹奏曲子给周瑜听，她为了让周瑜看她一眼，故意把曲子弹错，深谙乐曲的周瑜果然听出来是哪一个弹错了，并且看了看她。我们知道故意考0分的学生，他是非常厉害的，甚至超过考满分的学生！考满分的学生常见，故意考0分的学还真是少有！
另外我又想到清代纪昀在他的《阅微草堂笔记》中讲到的一个发人深思的故事《河中石兽》，原文如下：沧州南一寺临河干，山门圮于河，二石兽并沉焉。阅十余岁，僧募金重修，求石兽于水中，竟不可得。以为顺流下矣，棹数小舟，曳铁钯，寻十余里，无迹。
一讲学家设帐寺中，闻之笑曰：“尔辈不能究物理，是非木杮，岂能为暴涨携之去？乃石性坚重，沙性松浮，湮于沙上，渐沉渐深耳。沿河求之，不亦颠乎？”众服为确论。
一老河兵闻之，又笑曰：“凡河中失石，当求之于上流。盖石性坚重，沙性松浮，水不能冲石，其反激之力，必于石下迎水处啮沙为坎穴，渐激渐深，至石之半，石必倒掷坎穴中。如是再啮，石又再转。转转不已，遂反溯流逆上矣。求之下流，固颠；求之地中，不更颠乎？”如其言，果得于数里外。然则天下之事，但知其一，不知其二者多矣，可据理臆断欤？
用今天的话来说就是：沧州的南面有一座寺庙靠近河岸，庙门倒塌在河里，两只石兽一起沉没于此。经过十多年，僧人们募集金钱重修（寺庙），在河中寻找石兽，最后没找到。(僧人们)认为石兽顺着水流流到下游了，于是划着几只小船，拖着铁钯，（向下游）寻找了十多里，没有找到(石兽的)踪迹。
一位讲学家在寺庙中讲学，听说了这件事笑着说：“你们这些人不能推究事物的道理，这（石兽）不是木片，怎么能被暴涨的洪水带走呢?石头的性质坚硬沉重，沙的性质松软轻浮，石兽埋没在沙上，越沉越深罢了。顺着河流寻找石兽，不是疯狂(的做法)吗?”大家信服地认为（这话）是精当确切的言论。
一位老河兵听说了讲学家的观点，又笑着说：“凡是落入河中的石头，都应当在河的上游寻找它。正因为石头的性质坚硬沉重，沙的性质松软轻浮，水流不能冲走石头，水流反冲的力量，一定在石头下面迎水的地方侵蚀沙子形成坑洞，越激越深，当坑洞深到石头的一半时，石头必定倾倒在坑洞中。如果像这样再冲刷，石头又会再次转动。像这样不停地转动，于是反而逆流朝相反方向到上游去了。到河的下游寻找石兽，固然疯狂；在石兽沉没的地方寻找它们，不是更疯狂吗?”依照他的话（去寻找），果然在(上游)几里外寻到了石兽。既然这样那么天下的事，只知道表面现象，不知道根本道理的情况有很多，难道可以根据某个道理就主观判断吗?
很明显：大学者大文豪纪昀在这里讲的故事是”河中寻石兽“，告诉我们的道理是”实践出真知“；同时启示我们：考虑问题、应对事情要综合各方面因素，各种条件都要考虑到，不能只根据某一个原因，就下结论，那样往往是错误的，必须综合种种因素，考虑周全！
我说这些并不是要说出我的思考与验证过程，而是想通过这些说出我的一点启示，以飨读者：
我们崇拜专家，信奉权威，仰慕天才。但不能盲目！要有自己的思考与判断，要有一点查证求实的精神。遇到问题，可以先多问几个为什么，然后想方设法地去寻求正确答案，从而完满地解决问题。处理问题要考虑周全，尽心尽力，不能仅凭聪明，投机取巧，四处拼凑，正如方根东校长在一次全体教职工大会上所说：“处事不以聪明为先，应以尽心为急”。“实践是检验真理的唯一标准。”只有思考加实践，才是解决问题、获得真知灼见的唯一良方。
2022年11月27日星期日
