集训三 数的整除
名师点拨
考题分类一：特殊数的整除特征。
例1(西安交大附中入学考题)，在算式2×□□□＝□□□的六个空格中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个积的后两位数是（ ）。
A.46 B．34 C．54 D．以上都错
考题分类二：补数类整除问题。
例2（黄石考题）有一个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除。这样的三位数最大的是 ，最小的是 。
考题分类三：有余数的除法运用。
例3（成都外国语学校考题）两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866，这两个数分别是 和 。
考题分类四：用尝试法解整除问题。
例4（西安长安一中综合素质测评）在947后面添三个不同的数字，组成一个被2，3，5同时整除的最小的六位数，这个数是 。
考题分类五：用包含与排除法解整数问题。
例5（成都七中嘉祥外国语学校考题）在前2011个正整数中，既不是平方数也不是立方数的有 个。
名校真题
1.如果a÷b＝5，那么（ ）。
A．a一定是b的倍数 B．a能被b整除 C．a一定能被b除尽 D．b一定能整除a
2．差是1的两个质数是 和 ，它们的最小公倍数是 。
3．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数的和，在这串数的前1997个数中，有 个数是5的倍数。
4．A＝2×3×a，B＝2×a×7，已知A与B的最大公因数是10，那么A＝ ，A与B的最小公倍数是 。
5．两个质数，它们的差是合数；它们的和既是11的倍数，又是小于50的偶数。符合条件的五组数有 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；
和
6．在有余数的除法算式24÷（ ）＝（ ）……3中，商可以有 种答案。
7．若一个自然数与它本身相加、相减、相除的和、差、商的和是101，那么这个数是 。
8.一个五位数91□3□能被6 整除，□里填同一个数，□里的数是 。
9.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商都相等，余数都是2，且余数与商不能相互整除。若甲、乙两数的和是478，则乙、丙两数的和是 。
10.一个两位数加上2能被2整除，加上5能被5整除，加上7能被7整除，这个数是 。
11.互不整除的两个整数的和是432，它们的最大公因数为36，那么这两个整数是
和 。
12.一个质数的2倍加上另一个质数的3倍刚好等于200，这两个质数分别是
和 。
13.360的因数共有（ ）。
A．26 B.25 C．24 D.23
14.用小于10的三个不同质数组成的同时是2和3的倍数的最大三位数是 。
15.一个四位数的各位数字之和是3，并且是7的倍数，这个四位数是 。
16．一个数分别与相邻的两个奇数相乘，得到的两个乘积相差40，这个数是 。
17．两个不同自然数的和，一定比这两个自然数相乘的积小。（ ）
18．要使六位数15ABC6能被36整除，而且所得的商尽量小，这个六位数是 。
19.有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a＋1，去除527余a＋2，则a＝ 。
20.将最大的两位数加到最大的一位数上，加n次得到最大的三位数。则n是 。
21．一个数的小数点向右移动一位，这个数就增加2.7，这个数原来是 。
22.一个三位数，既是2的倍数，又能被5整除，而且9又是它的因数，这个三位数最大是 。
23.用0，1，2，3，4，5中的四个数字，共能组成 个各位数字不同的四位数。
24．在小数的乘法中，一个因数的小数点向左移动一位，另一个因数的小数点向右移动两位，则乘积变为原来的（ ）
A.10倍 B.
C．100倍 D．
25.57和133的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
26.纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，l纳米等于10亿分之一米，那么0.02014厘米等于 纳米。
27.一个小数的小数点向右移动一位后，比原数大28.26，那么原数是 。
28.一个三位数，十位数上的数字是“1”，这个数既能被2，5整除，又是3的倍数，这个数最小的是 。
29.一个数的小数点，先向右移动一位，再向左移动三位，所得到的新数比原数少35.64，原数是 。
30.下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，其中一定能被3和5整除的数是（ ）
A．NNNSNN B．NSNSNS C.NSSNSS D．NSSNSN
31.如果A＝60，B＝42。那么A，B的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
32.8是4的倍数，9是3的倍数。8与9是相邻的自然数，15是3的倍数，16是4的倍数，15与16是相邻的自然数。如果将8，9或15，16作一组，则1～100中共有 组相邻的自然数，一个是3的倍数，另一个是4的倍数。
33.a＝2×3×m，b＝3×5×m，则m是 ，a和b的最小公倍数是 。
34．在数学中，任何一个质数都只有 个因数，任何一个偶数的因数的个数都是 。
35.下列各组的两个数，与其他组关系不同的是( )。
A．2和8 B.3和27 C.4和32 D.5和125
36.一个数既是3和5的倍数，又是7和10的倍数，那么这个数最小应该是（ ）。
A．105 B.150 C.210 D.350
37.如果时钟在第几小时就敲几下，而且每3秒敲一下，那么下午六点要敲 秒钟。
A．15 B.18 C.51 D.54
38.母亲现在的年龄是儿子的4倍，母亲27岁时生下这个孩子，现在母亲的年龄是 岁。
集训三 数的整除答案解析
名师点拨
考题分类一：特殊数的整除特征。
例1(西安交大附中入学考题)，在算式2×□□□＝□□□的六个空格中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个积的后两位数是（ ）。
A.46 B．34 C．54 D．以上都错
【点拨】2×□□□＝□□□，较大的数的个位数只能是偶数2，4，6，较大数与较小数是2倍的关系，且较大数能被13整除，所以个位分别是3和6，十位分别是7和4，百位分别是2和5。2×273＝546，546能被13整除。强调要兼顾较大数能被13整除这一重要条件，故选A。
考题分类二：补数类整除问题。
例2（黄石考题）有一个三位数，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除。这样的三位数最大的是 ，最小的是 。
【点拨】能被5整除的数的特征是个位数字是0或5，因为是加上l后能被5整除，所以原来的个位数字可能是9或4。根据第二个条件“加上3能被2整除”，可知只有当个位数字是9时，9加3的个位数是2，才能被2整除，这样我们可以确定原数的个位数字是9。能被3整除的数的特征是各位上数字和能被3整除，且当这样的三位数最大时，百位数字是9，最小时，百位数字是1，而且还要满足加上5后才能被3整除，根据这些条件可以推算出当这个数最大时，十位数字是7，最小时，十位数字是0。故最大的数是979，最小的数是109。
考题分类三：有余数的除法运用。
例3（成都外国语学校考题）两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866，这两个数分别是 和 。
【点拨】我们先用866－(22＋8)＝836，求出被除数与除数的和。由于两数相除，商是22，余数是8，也就告诉我们被除数比除数的22倍多8。836－8＝828，这样就把被除数看成正好是除数的22倍，从而转化成和倍问题。828÷(1＋22)＝36，即除数是36，又36×22＋8＝800，即被除数是800。所以这两个数分别是800和36。
考题分类四：用尝试法解整除问题。
例4（西安长安一中综合素质测评）在947后面添三个不同的数字，组成一个被2，3，5同时整除的最小的六位数，这个数是 。
【点拨】能被2整除的数的特征是个数数字是0，2，4，6，8；能被5整除数的特征是个位是0或5，所以即是2的倍数又是5的倍数的特征的个位数字肯定是0。能被3整除的数的特征是各个位上的数字和是3的倍数，因为9是3的倍数，7＋4＝11，要保证是3的倍数，至少还要加4，即十位上的数字和百位上的数字和4，又要求这个六位数最小，所以最小是974130。
考题分类五：用包含与排除法解整数问题。
例5（成都七中嘉祥外国语学校考题）在前2011个正整数中，既不是平方数也不是立方数的有 个。
【点拨】既不是平方数也不是立方数的个数不好求，不过我们可以求出是平方数和立方数有哪些，用2011减去平方数和立方数即可。
前2011个正整数中平方数有：12，22，32，……442，一共44个；
前2011个正整数中立方数有：13，23，33，……123，一共12个；
既是平方数又是立方数的有：16，26，36，共3个。
符合条件的数有：2011－（44＋12－3）＝1958（个）
名校真题
1.答案：C
【点拨】注意区分整除和除尽是不一样的。整除是针对整数，除尽可以是小数。
2．答案：2 3 6
3．答案：399
【点拨】1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……，我们会发现这串数每5个数中就有一个数是5的倍数，1997÷5＝399……2
4．答案：30 210
【点拨】A与B的最大公因数是10，即2×a＝10，所以a＝5，则A＝2×3×5＝30，A与B的最小公倍数是2×3×5×7＝210
5．答案：41和3；37和7；31和13；19和3；17和5。
【点拨】因为两个质数的和是11的倍数，所以可以先从11开始，但是没有两个质数的和是11，依次往后推，11的2倍22，19＋3＝22，17＋5＝22，11的3倍33，没有两个质数的和相加是33，11的4倍44，31＋13＝44，37＋7＝44，41＋3＝44。
6．答案：2
【点拨】在有余数的除法算式中，除数一定要比余数小，所以除数只能是1或2，则对应的商也应该是2种。
7．答案：50
【点拨】一个数自然数与它本身相加的和是这个自然数的2倍，相减的差是0，相除的商是1，所以这个自然数是（101－1）÷2＝50
8.答案：4
【点拨】要保证这个数能被6整除，即要保证这个数既能被2整除，又能被3整除。
9.答案：158
【点拨】甲数＝商×乙数＋2，有甲、乙两数的和是478可得：商×乙数＋2＋乙数＝478，所以乙数×（商＋1）＝478，而478＝2×2×7×17，又因为余数和商不能互相整除，所以商不可能是2的倍数，即（商＋1）不可能是7或17，则（商＋1）是4，商是3，这时乙数是119，此时丙数是（119－2）÷3＝39，则乙和丙的和是119＋39＝158。
10.答案：70
【点拨】因为这个两位数加上2能被2整除，加上5能被5整除，所以这个数的个位数字肯定是0，再根据加上7是7的倍数，可以推出这个两位数是70。
11.答案：180和252
【点拨】因为432÷36＝12，两个数互不整除，所以12＝5＋7，则这两个整数分别是36×5＝180，36×7＝252
12.答案：97和2
【点拨】因为200是一个偶数，只要“偶＋偶＝偶”或“奇＋奇＝偶”，一个质数的2倍肯定是一个偶数，所以另一个质数的3倍也是一个偶数，即可以确定一个质数是2，则另一个质数是（200－2×3）÷2＝97
13.答案：C
【点拨】因为360＝23×32×51，所以360的因数的个数有：（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24，故正确答案是C。
14.答案：732
【点拨】小于10的质数有：2、3、5、7，所以这个三位数的个位数字肯定是2，百位数字是7，又要求是3的倍数，所以最大的三位数是732。
15.答案：2100
【点拨】因为3＝1＋1＋1，或3＝2＋1，又要满足这个四位数是7的倍数，所以这个四位数是2100。
16．答案：20
【点拨】相邻的两个奇数相差2，所以这个数是40÷2＝20。
17．答案：×
18．答案：150156
【点拨】因为36＝4×9，所以这个六位数既要能被4整除，也要能被9整除，能被4整除的数的特征是看这个多位数的末两位，所以C可以1、5、7、9；能被9整除的数的特征是各个位上的数字加起来的和是9的倍数，当C＝1时，A＋B＝5；当C＝5时，A＋B＝1；当C＝7时，A＋B＝8；当C＝9时，A＋B＝6；又要求所得的商尽可能小，即要求这个六位数尽量小，则最小的六位数是150156。
19.答案：19
【点拨】由题意得知，用此数去除410余a，去除525余a，即除226、410、525的余数相同，所以此数是226、525和410的最大公因数，先求出226、525和410的最大公约数，然后根据“用它去除226余a”，进行解答，得出结论。
20.答案：10
【点拨】最大的三位数是999，（990－9）÷99＝10
21．答案：0.3
【点拨】2.7÷9＝0.3
22.答案：990
23.答案：300
【点拨】因为0不能在最高位，所以千位上的数字只能是1，2，3，4，5中任选一个，所以有5种选择，百位上也有5种选择，十位上有4种选择，个位上有3种选择，所以一共有5×5×4×3＝300（个）
24．答案：A
25.答案：19 399
26.答案：201400
27.答案：3.14
28.答案：210
29.答案：36
30.答案：B
【点拨】，首先最高位不能是0，所以N不能是0，因为能被5整除的数的特征是末尾是0或5，所以可以排除A和D，还要保证是3的倍数，所以正确答案是B。
31.答案：6 420
32.答案：17
【点拨】①3与4的最小公倍数是3×4=12，在1～12中，有2组相邻的两个自然数，其中一个是3的倍数，另一个是4的倍数（3与4、8与9）；
②因为96÷12＝8，所以1～96中有：2×8=16（组）相邻的自然数，其中一个是3的倍数，另一个是4的倍数；
③在97～100中，有1组相邻的两个自然数，其中一个是3的倍数，另一个是4的倍数（99与100）。
所以在1～100中，共有：2×8 1=17（组）；
33.答案：7 210
34.答案：2 大于或等于2
35.答案：C
36.答案：C
37.答案：A
【点拨】下午六点要敲6下，中间会有5个时间间隔，（6－1）×3＝15（秒），所以正确答案是A。
38.答案：36
【点拨】根据题意可知母亲和孩子的年龄差是27岁，则这个问题就转化成了差倍问题。
27÷（4－1）＝9（岁）
4×9＝36（岁）
