作者 | 侯晓婷、李春兰
来源 | 本文转载自《和乐数学》，原载于《科普创作》2020年第2期。
题记数学家刘薰宇毕生致力于我国的教育事业，于1934年出版的《数学趣味》可谓是数学科普经典著作之一。该著作由11篇文章集结而成，其显著的特点有：第一，题材来自生活或历史经典问题，破除人们对数学的错误认识；第二，问题的讲解善于用通俗的语言及“搭桥铺路”的方法，引领读者进入数学王国；第三，在无形中流露出思考问题的方法，潜移默化地引导读者进行思考；第四，数学思想方法的渗透与德育思想并驾齐驱，体现全人教育。
近年来，数学科普读物受到了人们广泛的关注，人们希望读到高水平、通俗易懂的科普作品, 这就要求科普作家要有深厚的科学素养和化繁为简、深入浅出的表达功底。[1]我国现代数学家、数学教育家和出版家刘薰宇的科普论著可谓是典型代表。刘薰宇的《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》《因数与因式》等科普著作不仅对中国科学院院士杨振宁，数学家谷超豪、徐利治、齐民友等有深刻的影响，就连著名画家丰子恺这样没怎么接触过数学的文人都对刘薰宇的文章赞善有加。[2]本文以《数学趣味》为例，在概述其主要内容的基础上，阐述其特点，研究其在处理数学材料及思考数学问题方面独到的见解，以期对我国当代中学生、数学教育工作者、数学科普读物的撰写者有所助益。
一、刘薰宇简介刘薰宇，贵州贵阳人，又名心如，中国民主同盟成员，中国共产党党员。1919年毕业于北京高等师范学校数理系，1928—1930年留学法国巴黎大学，受过法国数学教育的熏陶。曾任教（职）于河南省立第一师范学校、湖南常德第二师范学校、浙江上虞春晖中学、上海大学附属中学、上海立达学园、暨南大学、大夏大学、同济大学、国立西南联合大学等。抗日战争时期任贵阳高中校长。贵州解放后，贵阳高中与贵阳中学、中山中学、贵阳师范学院附属中学等合并为贵阳第一中学，刘薰宇为第一任校长。其还担任过开明书店编辑，负责数理教材的编辑工作。与他人一起创办了《中学生》《新少年》等青少年期刊。1950年调入人民教育出版社担任副总编辑，负责全国中学数理科统编教材工作，审定了当时我国全部中小学使用的数学教材，并亲自参加编写。
刘薰宇毕生论著颇丰，以小品文、科普著作、数学教科书著称。发表在《春晖》《一般》《教育杂志》和《中学生》等杂志上的文章有100多篇。他的论著用通俗的语言揭示深刻的道理，深得读者喜爱。其科普著作和数学教科书主要在开明书店和人民教育出版社出版。
刘薰宇为我国数学教科书的编写倾注了大量心血。民国时期，他与章克标、仲光然、周为群等合编的初级中学用的《开明算学教本》（7册）成为当时全国最完善的数学教科书，持续畅销，与《开明活页文选》《开明英文读本》并称为“开明三大教本”，成了开明书店后来的“吃饭书”之一。刘薰宇在开明书店出版的数学教科书，也是中华人民共和国成立后我国中小学数学教科书内容的主要来源。中华人民共和国成立之初，教育部规定全国使用统一教材，中学数学教科书由刘薰宇等编写，刘薰宇编写（校订）了全国通用的第一套和第二套中学数学教科书，在1951—1953年编写出版了算术、代数、平面几何、立体几何和解析几何等方面的教材。在短短的三年时间内，编写出版了近20种中学数学教科书供全国中小学使用。
刘薰宇的数学科普著作更是令人喜闻乐见。他身为人师，在中学执教期间开始进行数学科普的研究。陆续出版了《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》《因数与因式》《实用微积分》等数学科普著作，这些著作不仅影响了那个时代的人，对当今读者来说也是不容错过的数学科普经典。可喜的是，2019年10月，团结出版社将《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》改编出版，命名为“给孩子的数学三书——原来数学可以这样学”，使当今的读者阅读体味到“数学可以这样有意思地去学”，以纠读者固有的“数学是一门枯燥乏味的学科”的认识。
刘薰宇为我国文化教育事业鞠躬尽瘁，于1967年辞世。在临终前也没忘记自己是一位教科书的编著者。
刘薰宇先生逝世的前一两年，正值“文化大革命”初期，他一边在挨批判，一边却在病榻上撰写了他最后一本数论著作《因式分解》。[3]
刘薰宇是一位有强烈爱国情感的人。一次醉倒被抬回家，事后经了解缘由，才知当日在龙岗饮酒，“刘薰宇大骂蒋介石不打日本人，却大*新四军( 即皖南事变)，狂愤极了，痛饮发患”[4]。
二、《数学趣味》出版背景（一） 内容来源
《数学趣味》初版于1934年9月出版，再版多次，该书是由11篇已发表在《中学生》《一般》《春晖》三种杂志中的论文集结而成的单行本。表1中1、4、5、6、11五篇文章也被收录在李斌主编的《三下五除二》（天地出版社，2012年6月）中。
（二）出版原因
《数学趣味》所选的文章主要集中在《中学生》“数学讲话”栏目中，但这个栏目并非每期定期出现，这也是之后会集结出单行本《数学趣味》的客观原因之一。在《中学生》杂志及刘薰宇编写的《开明算术讲义》（1948年）的书后都印有“开明青年丛书”广告，其中包括《数学趣味》的简介：“《数学趣味》是刘先生数学讲话的总结集。《数学趣味》中所收的是从日常生活中随处拾来的数学文章。”另外，对于出单行本，刘薰宇在该书的“致读者”中提道：“从发表过四五篇后，书店和我便常常接到一些爱读青年的信，一是要我多写一些，一是要我将他们集结起来出单行本。”[5]
《数学趣味》虽然是由已发表的文章集结而成的单行本，且每篇文章之间没有什么衔接关系，但这些文章有两个共同的特征：第一，打破了人们对数学的误解，即认为数学是枯燥、繁难、令人头疼、不实用的科学，从而对数学望而却步；第二，提供了处理材料和思考问题的方法。数学学习并不是死记书本上的法则、公式、定理然后做练习题等。
刘薰宇强调数学学习应该结合生活中的实际问题，生活中鲜活的实际问题要比书本中丰富，掌握学习方法要比掌握知识更重要。
依据刘薰宇如何引出数学问题或关于数学的认识，可将该书的文章分为四类：历史名题（2篇）、趣味故事（3篇）、数学游戏（4篇）、数学的认识（2篇）。下面依此分类给出简单的介绍，从中感受数学的趣味性。
（一）历史名题为引
《从数学问题说到我们的思想》和《韩信点兵》分别以《孙子算经》中的“鸡兔同笼”和“韩信点兵”问题为引，带领读者走进数学世界。
1.《从数学问题说到我们的思想》
该文通过对报刊中刊登的对“鸡兔同笼”问题的一个巧妙解法与教科书中的解法比较，揭示数学抽象（一般性）在数学中的重要性。
报刊中给出的“鸡兔同笼”问题的巧妙解法为：
一共十二个头，三十只脚，……究竟有几个鸡，几个兔。那书上的算法很简便，将一共的脚的数目三十折半，得十五，从这十五减去一共的头的数目十二，剩的是三，这就是那笼子里面的兔的个数；……剩下的九便是要求的鸡的数目。[5]40
教科书中解法为：
头数一十二用二去乘，得二十四。从三十头减去他，得六。因为兔是四只脚，鸡是两只，所以，每只兔比每只鸡多出来的脚的数目是四减去二，也就是二。用这二去除上面所得的六，恰好商三，这就是兔的只数。有了兔的只数，要求鸡的，用总头数减去兔子的只数就能得到。[5]41
报刊中的解法并未编排在教科书中，刘薰宇在此给出了原因，并举了“百僧吃白馒头”和“方桌与桌角”等问题，这些问题只能用教科书中的解法来解答，从而让读者感知教科书中的较繁复、较一般性解法的重要性。
为了阐述数学抽象（一般性）的重要性，他又列举了关于勾股定理的不同描述所带来的不同发展，即中国古代《周髀算经》中的“勾三股四弦五”和古希腊的“直角三角形的斜边平方等于它两边的平方的和”。两种描述看似本质相同，但所含的一般性却不同。“勾三股四弦五”形式的定理很难确定钝角三角形或锐角三角形的三边存在怎样的三个简单数字关系。而“直角三角形的斜边平方等于它两边的平方的和”，在几何和数论方面都有发展：几何中推广到“钝角三角形”“锐角三角形”三边关系的定理；在数论中发展到“费马大定理”。
根据刘薰宇用大量事实的阐述，读者可以感知到“一般性方法”的获得或对这样方法追求的可贵，它适用的是一类问题，而不是一个问题。他强调人们要耐心地去搜寻材料，要静下心去发现它们普遍的法则，依据的事实越多，去掉的特殊性就越多，共通性就越普遍，即可抽象出一般性法则。追求一般性法则是大势所趋，越是应用广泛的法则，越是受人崇拜。
文章中还表述了他自己在初学“鸡兔同笼”时对数学抽象的困惑：
总是不明白为什么可以用脚的个数除以脚的个数，其实不过是纸上谈兵，并不真的将一双脚去怎样弄别的双脚，所以变成整个的兔或鸡都没什么关系；正和上面所说将兔子或鸡劈成两半一样，并非真用刀去劈，不过心里想想而已，所以劈了过后还活得转来，一点不伤于畜道。[5]42
其实，刘薰宇关于劈“半个鸡”的思路就是从“数学化”的角度看问题，将“鸡兔同笼”不只是看作一个问题，而是一类问题；不只是一个具体问题，而是一个抽象的数学模型。所以，“鸡兔同笼”问题也不限于指真实的鸡和兔同笼, 自然就不会受限于是不是“半个”了。这种观点应该也为不少读者揭开了心中的迷雾。
2.《韩信点兵》
“韩信点兵”其实是一种算法，最早见于《孙子算经》，中国古代可谓“妇孺皆知”。文章通过简要介绍“韩信点兵”问题的发展史及解法，表达了两种观点：第一，要多角度思考数学问题，如中外对于“韩信点兵”算法原理不同的解答；第二，“求一术通解”在此类问题中的应用及在中国数学史上的地位，积极发扬传统算法。
刘薰宇在文中引出：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”原书跟着题目就有下面一段“答曰二十三。”[5]205这个问题看似难算，但刘薰宇告诉读者，我国古时候流传着一种算法，名字很多，宋代周密称其为“鬼谷算”“隔墙算”，杨辉称其为“剪管术”，而“韩信点兵”这个名字流传最广。然后，他问读者这个算法采用了何种原理，来引发读者思考。
刘薰宇通过运用倍数定理、清代黄中宪“求一术通解”的知识将这类问题的解答总结为四步：求衍术、求乘率、求用数、求本数。并对杨辉“剪管术”的同类题“七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数几何？”进行了求解。同时，他也用通俗的语言解说了该算法原理中每一步的正确性，例如：“我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：①某数的倍数还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。②某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一淘①，他们仍然是我的哥哥一般。”[5]205
刘薰宇将抽象的问题与容易理解的生活常识结合起来，读者不仅对这个问题有了清晰的认识，学到了多角度思考数学问题方法，而且从中感受到了数学问题是容易理解的。他指出韩信的点兵其实并不限于三三、五五、七七的数。另外，国外对该问题也有不同的解法，即“联立方程式”。这种解法与中国传统的方法相比并不能说哪种方法更好，因为数学问题的解答有时候也要关注他人的解法。并强调“求一术通解”这样的方法在中国数学史上具有重要意义，我们要积极发扬。
（二）趣味故事为引
《王老头子的汤团》《数的启示》和《假使我们有十二个手指》均是以趣味故事为引，读者可以在故事情境中不知不觉走进数学世界。
1.《王老头子的汤团》
该文是由纪念一位卖汤团的老人引发的对“积弹法”公式的证明。卖汤团的老人每天卖一盘方方正正、尖峭峭的汤团，正是数学中金字塔的形状。故将金字塔拓展为四类堆积方法，如图3至图6所示。图3各层都是正三角形，图4各层都是正方形，图5各层都是矩形，且这三类顶都是“尖”的，图6各层都为矩形的顶是“平”的。用数学术语表达即为，第一个是正三角锥；第二个是正方锥；第三个侧面是等腰三角形，正面是等腰梯形；第四个侧面和正面都是等腰梯形。这类题目国内外都有解法，国外叫积弹、拟形数或拟形级数，国内叫垛积。
