（稀疏尺长度与刻度数的关系图。横轴为尺的长度，纵轴为尺子所需刻度数。可以看到，它不是单调递增的，在横轴为 137 的位置处，第一次减少 1。此后偶尔可以减少 1，并且间隔似乎很有规律。）
这太反直觉了。因为在我看来，减法是一个可以“微调”的操作。那么，难道是 138 这个数字有什么魔力，使得我们可以用 20 个小于等于 138 的数字，得到全部从 1 到 138 的差值。而当最大值为 135 和 136 时，却需要 21 个数字？这真的像一个玩笑，但也使这个问题一下子有趣起来。
并且，罗宾逊发现，这种情况在后面还多次出现，比如在长度 153,168 附近，看上去是存在无穷多把稀疏尺不是完美尺了。以上是 Intel 的研究员罗宾逊的发现。
2019 年到 2020 年，Wolfram（Mathematica 软件的开发公司）公司的研究员艾徳·佩格（Ed Pegg Jr.)也对这个问题产生了兴趣，进行了一番研究。他得到了一个有意思的结论，如果 是长度为 n 的稀疏尺的刻度数，则定义 E(n)如下：
其中 是四舍五入到整数。佩格证明了，对所有的 n:
，也就是 E(n)等于 0 或者 1。也就是说， 是计算稀疏尺刻度数量的一个不错的公式，最终的稀疏尺刻度数要么恰好是它，要么多 1。
Pegge 的证明过程很有意思，用了很多可视化方法来提示思路。他先是绘制了这样一张图：
横轴是刻度数量，纵轴是需要这么多刻度数量的稀疏尺长度。粗体表示那些长度位置上，实际所需刻度数要加 1。看上去是不是感觉有些规律？
他又根据当时已知的猜想的稀疏尺刻度数，把上图扩展到长度至 10501，得到了如下这张图：
OEIS(https://oeis.org/)的站长， Neil Sloane 称这张图为：乌云笼罩下的阴暗魔鬼磨坊（“Dark Satanic Mills on a Cloudy Day”）。用 AI 生产了一张图，还有真有点像：
根据“磨坊图”，Pegg 猜想出了 这个数字，并且他分别对长度大于 257992 和小于等于 257992 的稀疏尺进行讨论，最终证明了前述结果。
并且，根据这个结果，Pegg 分析说那个“最优尺猜想”基本上是对的，并且很可能当尺子长度足够长以后，所有的稀疏尺都符合威克曼公式，都是威克曼尺。
Pegg 写了一篇关于稀疏尺问题的blog[2]，有很多图片，值得一读：
