初中数学轴对称这部分中，等腰三角形是非常重要的考点，关于等腰三角形部分相关的证明，是需要同学们掌握的。我们一起学习一下，等腰三角形中，常见的证明思路，通过实例详解，希望同学们能够结合具体的习题，进行巩固练习，将这部分的内容掌握起来。
等腰三角形证明角相等时，常常利用“三线合一”来进行证明。“三线合一”即底边的高线与中线，及其底边所对角的角平分线是同一条直线。
例题1．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠DBC＝1/2∠BAC.
【详解】:证明：过点A作AF⊥BC于点F.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠CAF＝∠BAF＝1/2∠BAC.
∵AF⊥BC，BD⊥AC，∴∠AFC＝∠BDC＝90°，即∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.∴∠DBC＝∠CAF.∴∠DBC＝1/2∠BAC.
例题2．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于点E，CE＝1/2BC，点E在△ABC外．求证：∠ACE＝∠B.
【详解】：证明：过点A作AD⊥BC于点D.∵AD⊥BC，AE⊥CE，∴∠ADB＝∠E＝90°.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC.∵CE＝1/2BC，∴BD＝CE.又∵AB＝AC，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE.∴∠ACE＝∠B.
“三线合一”的利用，不仅可以用于证明角的相等，还可以来证明两线的垂直关系。
例题3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，点F在AB上，AE＝AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
【详解】：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD.∵AE＝AF，∴∠E＝∠EFA.∵∠BAC＝∠E＋∠EFA＝2∠EFA，∴∠EFA＝∠BAD.∴EF∥AD.∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.
除了上面的“三线合一”，也经常利用平行线来证明等腰三角形。
例题4．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于点E，交BC于点G，且AE∥BC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【详解】：(1)证明：∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE.∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
(2)∵F是AC的中点，∴AF＝CF.在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG.∴GC＝AE＝8.∵GC＝2BG，∴BG＝4.∴BC＝12.∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝10＋10＋12＝32.
例题5．如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在边AB上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．
【详解】：过点D作DG∥AC交BC于点G，∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.
在△GDF和△CEF中，∴△GDF≌△CEF(ASA)．∴GD＝CE.∵BD＝CE，∴BD＝GD.∴∠B＝∠DGB＝∠ACB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．
