图四 负数
加法的逆运算减法被发明之后，乘法的逆运算除法也如期而至，当然也遇到了与减法相同的问题：类似于5÷2的计算结果是多少，显然，它位于2和3之间，不是一个整数，于是人们发明了分数(有限小数和无限循环小数)去表示这样的运算结果。从此，数系由整数扩充到了有理数。
图五 分数
有理数系对于加减乘除四则运算都是够用的，学术点来说，有理数系对加减乘除四则运算封闭。但其并不是完美的，唯一的瑕疵在于，有理数系必须去掉“0”才能对除法封闭，因为人们至今还没搞懂任意有理数除以0的得数是多少，这也是为什么0不能作为除数和分母的原因。虽然这个瑕疵导致我们有时候不得不分条件讨论除以0的情况，但在许多情况下这并不困难，因此除了遇到可能除以0的情况，我们仍然可以放心大胆地在有理数系中使用四则运算。
图六 有理数
从自然数系扩充到有理数系似乎是必然的结果，貌似所有的数都被有理数系包涵了，古希腊的数学家们尤其这样认为。古希腊时期的毕达哥拉斯(约公元前580年-公元前500年）将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。而他所说的数，都可表示为整数或整数之比，即有理数。但不久之后，其“万物皆为数”的观点受到了致命的冲击，而带来这冲击的这是毕达哥拉斯的门徒--希帕索斯。
图七 毕达哥拉斯
