1，无限循环小数为什么会出现？
我们知道，所有的有理数都能写成分数，但有些分数是有限小数，比如1/5=0.2；有些分数是无限循环小数，比如1/3=0.333…。不管有限还是无限，这些数都不过是数轴上的一个点，无限小数并没有什么必然特殊的地方。之所以有些分数写成小数就是比另一些分数难表达，之所以无限循环小数会出现，是因为符号的表达问题，是由于进制导致的。比如2/9=0.222...，但如果使用九进制，那么2/9就等于0.2，没有循环了。在十进制下的任何一个无限循环小数，都可以转化为另一种进制下的有限小数。
因为10只能被2和5整除，所以3、7、13这些不能被十进制整除的数，就会除不尽而成为无限循环小数。如果用9进制，那么3、9、27为分母的数，就可以被除尽了，2、5为分母的数反而成为无限循环小数。用21进制，那么以3和7的任意倍数为分母的数也变成有限小数了。
或者可以这样理解，在十进制下，把一个分数化成小数，也就是把分母化为一个10的n次方数(n是不小于1的整数)，分子就是小数部分。比如把1/2化成小数，由于1/2=5/10，于是等于0.5；把1/8化成小数，由于1/8=125/1000，于是等于0.125。这样就很好理解了，为什么1/3是无限循环小数，因为3的倍数里，没有一个数正好等于10的任意正整数次方。同理，作为分母的数，如果含有3、7、11为因数，那么它就会变成无限循环小数。事实上，由于10只能被2和5除尽，所以任何含有2和5以外的素因数的分母，都会导致出现无限循环小数，比如5/6，10/11，3/26。由这种方法我们可以判断，任意一种进制下，哪些分数是有限小数，哪些是无限循环小数。也可以判断某个无限循环小数，要哪种进制才可以转化为有限小数。
当然，前提是已经把分数化为最简，例如13/26就不是循环小数，13/26实际上是1/2。
数学是一种工具，使用几进制是一种约定。我们选择了十进制，并不代表十进制在数学上最完备，可能只是因为人有十个指头。使用哪种进制会影响人的思考方式，如果一种使用12进制的外星人，就会觉得以数量12为一组比10“自然”得多，他们处理3的速度，就远高过处理5的速度。
如果使用30进制，就可以同时被2、3、5整除。也许有某个智商很高的外星人，经常要处理较大的数，他们使用了2310进制(2*3*5*7*11=2310）。好处是处理2、3、5、7、11或它们之间任意几个数的公倍数，都不会遭遇无限小数了。然而，2310进制不仅个位数就要记得2310个符号，而且给背下2309*2309乘法表！这可实在太难了，和我们的9*9乘法表相比。转发
